Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64845 / 69149
↖ ↑ ↗
← S  9.874158°
W  1.897888°		 ← 300.90 m → S  9.874158°
W  1.895142°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.876864°
W  1.897888°		 ← 300.90 m →
90 522 m²		 S  9.876864°
W  1.895142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494731903076172 y=0.527568817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494731903076172 × 217)
    floor (0.494731903076172 × 131072)
    floor (64845.5)     		tx = 64845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527568817138672 × 217)
    floor (0.527568817138672 × 131072)
    floor (69149.5)     		ty = 69149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64845 / 69149 ti = "17/64845/69149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64845/69149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64845 ÷ 217
    64845 ÷ 131072     		x = 0.494728088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69149 ÷ 217
    69149 ÷ 131072     		y = 0.527565002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494728088378906 × 2 - 1) × π
    -0.0105438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03312440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527565002441406 × 2 - 1) × π
    -0.0551300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.173196018327263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03312440} λ = -0.03312440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173196018327263))-π/2
    2×atan(0.840972752614901)-π/2
    2×0.69922988025043-π/2
    1.39845976050086-1.57079632675     		φ = -0.17233657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03312440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.897888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17233657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.874158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64845 KachelY 69149 -0.03312440 -0.17233657 -1.897888 -9.874158
    Oben rechts KachelX + 1 64846 KachelY 69149 -0.03307646 -0.17233657 -1.895142 -9.874158
    Unten links KachelX 64845 KachelY + 1 69150 -0.03312440 -0.17238379 -1.897888 -9.876864
    Unten rechts KachelX + 1 64846 KachelY + 1 69150 -0.03307646 -0.17238379 -1.895142 -9.876864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17233657--0.17238379) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17233657--0.17238379) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03312440--0.03307646) × cos(-0.17233657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985186770439853 × 6371000     		do = 300.901398399779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03312440--0.03307646) × cos(-0.17238379) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985178671830528 × 6371000     		du = 300.898924876033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17233657)-sin(-0.17238379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985186770439853-0.985178671830528)×R²
    abs(-0.03307646--0.03312440)×8.09860932471373e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.09860932471373e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.09860932471373e-06×40589641000000     		ar = 90522.3894017532m²