Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64844 / 69150
↖ ↑ ↗
← S  9.876864°
W  1.900635°		 ← 300.84 m → S  9.876864°
W  1.897888°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.879570°
W  1.900635°		 ← 300.83 m →
90 522 m²		 S  9.879570°
W  1.897888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494724273681641 y=0.527576446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494724273681641 × 217)
    floor (0.494724273681641 × 131072)
    floor (64844.5)     		tx = 64844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527576446533203 × 217)
    floor (0.527576446533203 × 131072)
    floor (69150.5)     		ty = 69150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64844 / 69150 ti = "17/64844/69150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64844/69150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64844 ÷ 217
    64844 ÷ 131072     		x = 0.494720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69150 ÷ 217
    69150 ÷ 131072     		y = 0.527572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03317233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527572631835938 × 2 - 1) × π
    -0.055145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173243955226883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03317233} λ = -0.03317233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173243955226883))-π/2
    2×atan(0.840932439954715)-π/2
    2×0.699206266947819-π/2
    1.39841253389564-1.57079632675     		φ = -0.17238379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03317233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.900635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17238379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.876864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64844 KachelY 69150 -0.03317233 -0.17238379 -1.900635 -9.876864
    Oben rechts KachelX + 1 64845 KachelY 69150 -0.03312440 -0.17238379 -1.897888 -9.876864
    Unten links KachelX 64844 KachelY + 1 69151 -0.03317233 -0.17243102 -1.900635 -9.879570
    Unten rechts KachelX + 1 64845 KachelY + 1 69151 -0.03312440 -0.17243102 -1.897888 -9.879570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17238379--0.17243102) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17238379--0.17243102) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(-0.17238379) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985178671830528 × 6371000     		do = 300.836159142884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(-0.17243102) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985170569308745 × 6371000     		du = 300.833684940384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17238379)-sin(-0.17243102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985178671830528-0.985170569308745)×R²
    abs(-0.03312440--0.03317233)×8.10252178362614e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.10252178362614e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.10252178362614e-06×40589641000000     		ar = 90521.9290045308m²