Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64844 / 69148
↖ ↑ ↗
← S  9.871452°
W  1.900635°		 ← 300.84 m → S  9.871452°
W  1.897888°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.874158°
W  1.900635°		 ← 300.84 m →
90 523 m²		 S  9.874158°
W  1.897888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494724273681641 y=0.527561187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494724273681641 × 217)
    floor (0.494724273681641 × 131072)
    floor (64844.5)     		tx = 64844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527561187744141 × 217)
    floor (0.527561187744141 × 131072)
    floor (69148.5)     		ty = 69148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64844 / 69148 ti = "17/64844/69148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64844/69148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64844 ÷ 217
    64844 ÷ 131072     		x = 0.494720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69148 ÷ 217
    69148 ÷ 131072     		y = 0.527557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03317233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.05511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.173148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03317233} λ = -0.03317233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173148081427643))-π/2
    2×atan(0.841013067207596)-π/2
    2×0.699253493747154-π/2
    1.39850698749431-1.57079632675     		φ = -0.17228934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03317233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.900635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17228934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.871452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64844 KachelY 69148 -0.03317233 -0.17228934 -1.900635 -9.871452
    Oben rechts KachelX + 1 64845 KachelY 69148 -0.03312440 -0.17228934 -1.897888 -9.871452
    Unten links KachelX 64844 KachelY + 1 69149 -0.03317233 -0.17233657 -1.900635 -9.874158
    Unten rechts KachelX + 1 64845 KachelY + 1 69149 -0.03312440 -0.17233657 -1.897888 -9.874158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17228934--0.17233657) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17228934--0.17233657) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(-0.17228934) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985194868566861 × 6371000     		do = 300.84110501117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(-0.17233657) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985186770439853 × 6371000     		du = 300.838632150667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17228934)-sin(-0.17233657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985194868566861-0.985186770439853)×R²
    abs(-0.03312440--0.03317233)×8.09812700819368e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.09812700819368e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.09812700819368e-06×40589641000000     		ar = 90523.4174296771m²