Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64842 / 69173
↖ ↑ ↗
← S  9.939093°
W  1.906128°		 ← 300.84 m → S  9.939093°
W  1.903381°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S  9.941798°
W  1.906128°		 ← 300.84 m →
90 485 m²		 S  9.941798°
W  1.903381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494709014892578 y=0.527751922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494709014892578 × 217)
    floor (0.494709014892578 × 131072)
    floor (64842.5)     		tx = 64842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527751922607422 × 217)
    floor (0.527751922607422 × 131072)
    floor (69173.5)     		ty = 69173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64842 / 69173 ti = "17/64842/69173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64842/69173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64842 ÷ 217
    64842 ÷ 131072     		x = 0.494705200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69173 ÷ 217
    69173 ÷ 131072     		y = 0.527748107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.010589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03326821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527748107910156 × 2 - 1) × π
    -0.0554962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.174346503918144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03326821} λ = -0.03326821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174346503918144))-π/2
    2×atan(0.840005781930271)-π/2
    2×0.698663214680309-π/2
    1.39732642936062-1.57079632675     		φ = -0.17346990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03326821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.906128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17346990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.939093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64842 KachelY 69173 -0.03326821 -0.17346990 -1.906128 -9.939093
    Oben rechts KachelX + 1 64843 KachelY 69173 -0.03322027 -0.17346990 -1.903381 -9.939093
    Unten links KachelX 64842 KachelY + 1 69174 -0.03326821 -0.17351711 -1.906128 -9.941798
    Unten rechts KachelX + 1 64843 KachelY + 1 69174 -0.03322027 -0.17351711 -1.903381 -9.941798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17346990--0.17351711) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dl = 300.774909999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17346990--0.17351711) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dr = 300.774909999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03326821--0.03322027) × cos(-0.17346990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984991788938694 × 6371000     		do = 300.841846030501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03326821--0.03322027) × cos(-0.17351711) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984983639338175 × 6371000     		du = 300.839356932732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17346990)-sin(-0.17351711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984991788938694-0.984983639338175)×R²
    abs(-0.03322027--0.03326821)×8.14960051864766e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.14960051864766e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.14960051864766e-06×40589641000000     		ar = 90485.3048517915m²