Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64841 / 69177
↖ ↑ ↗
← S  9.949914°
W  1.908875°		 ← 300.83 m → S  9.949914°
W  1.906128°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.952620°
W  1.908875°		 ← 300.83 m →
90 501 m²		 S  9.952620°
W  1.906128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494701385498047 y=0.527782440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494701385498047 × 217)
    floor (0.494701385498047 × 131072)
    floor (64841.5)     		tx = 64841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527782440185547 × 217)
    floor (0.527782440185547 × 131072)
    floor (69177.5)     		ty = 69177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64841 / 69177 ti = "17/64841/69177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64841/69177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64841 ÷ 217
    64841 ÷ 131072     		x = 0.494697570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69177 ÷ 217
    69177 ÷ 131072     		y = 0.527778625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494697570800781 × 2 - 1) × π
    -0.0106048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03331615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527778625488281 × 2 - 1) × π
    -0.0555572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174538251516624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03331615} λ = -0.03331615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174538251516624))-π/2
    2×atan(0.839844728280195)-π/2
    2×0.698568781338487-π/2
    1.39713756267697-1.57079632675     		φ = -0.17365876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03331615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.908875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17365876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.949914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64841 KachelY 69177 -0.03331615 -0.17365876 -1.908875 -9.949914
    Oben rechts KachelX + 1 64842 KachelY 69177 -0.03326821 -0.17365876 -1.906128 -9.949914
    Unten links KachelX 64841 KachelY + 1 69178 -0.03331615 -0.17370598 -1.908875 -9.952620
    Unten rechts KachelX + 1 64842 KachelY + 1 69178 -0.03326821 -0.17370598 -1.906128 -9.952620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17365876--0.17370598) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17365876--0.17370598) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03331615--0.03326821) × cos(-0.17365876) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984959173909053 × 6371000     		do = 300.831884560982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03331615--0.03326821) × cos(-0.17370598) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984951013798112 × 6371000     		du = 300.829392253059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17365876)-sin(-0.17370598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984959173909053-0.984951013798112)×R²
    abs(-0.03326821--0.03331615)×8.16011094051383e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.16011094051383e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.16011094051383e-06×40589641000000     		ar = 90501.474128972m²