Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64838 / 69171
↖ ↑ ↗
← S  9.933682°
W  1.917114°		 ← 300.85 m → S  9.933682°
W  1.914368°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.936388°
W  1.917114°		 ← 300.84 m →
90 506 m²		 S  9.936388°
W  1.914368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494678497314453 y=0.527736663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494678497314453 × 217)
    floor (0.494678497314453 × 131072)
    floor (64838.5)     		tx = 64838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527736663818359 × 217)
    floor (0.527736663818359 × 131072)
    floor (69171.5)     		ty = 69171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64838 / 69171 ti = "17/64838/69171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64838/69171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64838 ÷ 217
    64838 ÷ 131072     		x = 0.494674682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69171 ÷ 217
    69171 ÷ 131072     		y = 0.527732849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.010650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03345996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527732849121094 × 2 - 1) × π
    -0.0554656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.174250630118904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03345996} λ = -0.03345996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174250630118904))-π/2
    2×atan(0.840086320336668)-π/2
    2×0.69871043252345-π/2
    1.3974208650469-1.57079632675     		φ = -0.17337546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03345996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.917114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17337546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.933682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64838 KachelY 69171 -0.03345996 -0.17337546 -1.917114 -9.933682
    Oben rechts KachelX + 1 64839 KachelY 69171 -0.03341202 -0.17337546 -1.914368 -9.933682
    Unten links KachelX 64838 KachelY + 1 69172 -0.03345996 -0.17342268 -1.917114 -9.936388
    Unten rechts KachelX + 1 64839 KachelY + 1 69172 -0.03341202 -0.17342268 -1.914368 -9.936388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17337546--0.17342268) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17337546--0.17342268) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03345996--0.03341202) × cos(-0.17337546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985008085003875 × 6371000     		do = 300.846823268268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03345996--0.03341202) × cos(-0.17342268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984999938069426 × 6371000     		du = 300.844334984785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17337546)-sin(-0.17342268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985008085003875-0.984999938069426)×R²
    abs(-0.03341202--0.03345996)×8.14693444928238e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.14693444928238e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.14693444928238e-06×40589641000000     		ar = 90505.9688743112m²