Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64835 / 69075
↖ ↑ ↗
← S  9.673861°
W  1.925354°		 ← 301.08 m → S  9.673861°
W  1.922607°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.676568°
W  1.925354°		 ← 301.08 m →
90 634 m²		 S  9.676568°
W  1.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494655609130859 y=0.527004241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494655609130859 × 217)
    floor (0.494655609130859 × 131072)
    floor (64835.5)     		tx = 64835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527004241943359 × 217)
    floor (0.527004241943359 × 131072)
    floor (69075.5)     		ty = 69075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64835 / 69075 ti = "17/64835/69075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64835/69075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64835 ÷ 217
    64835 ÷ 131072     		x = 0.494651794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69075 ÷ 217
    69075 ÷ 131072     		y = 0.527000427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494651794433594 × 2 - 1) × π
    -0.0106964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03360377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527000427246094 × 2 - 1) × π
    -0.0540008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.169648687755379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03360377} λ = -0.03360377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169648687755379))-π/2
    2×atan(0.843961258445587)-π/2
    2×0.700977799855232-π/2
    1.40195559971046-1.57079632675     		φ = -0.16884073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03360377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.925354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16884073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.673861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64835 KachelY 69075 -0.03360377 -0.16884073 -1.925354 -9.673861
    Oben rechts KachelX + 1 64836 KachelY 69075 -0.03355583 -0.16884073 -1.922607 -9.673861
    Unten links KachelX 64835 KachelY + 1 69076 -0.03360377 -0.16888798 -1.925354 -9.676568
    Unten rechts KachelX + 1 64836 KachelY + 1 69076 -0.03355583 -0.16888798 -1.922607 -9.676568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16884073--0.16888798) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16884073--0.16888798) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03360377--0.03355583) × cos(-0.16884073) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985780232620408 × 6371000     		do = 301.082657025437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03360377--0.03355583) × cos(-0.16888798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985772291645274 × 6371000     		du = 301.080231647231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16884073)-sin(-0.16888798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985780232620408-0.985772291645274)×R²
    abs(-0.03355583--0.03360377)×7.94097513334702e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.94097513334702e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.94097513334702e-06×40589641000000     		ar = 90634.4719350567m²