Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64834 / 69154
↖ ↑ ↗
← S  9.887687°
W  1.928100°		 ← 300.83 m → S  9.887687°
W  1.925354°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.890393°
W  1.928100°		 ← 300.82 m →
90 500 m²		 S  9.890393°
W  1.925354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494647979736328 y=0.527606964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494647979736328 × 217)
    floor (0.494647979736328 × 131072)
    floor (64834.5)     		tx = 64834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527606964111328 × 217)
    floor (0.527606964111328 × 131072)
    floor (69154.5)     		ty = 69154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64834 / 69154 ti = "17/64834/69154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64834/69154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64834 ÷ 217
    64834 ÷ 131072     		x = 0.494644165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69154 ÷ 217
    69154 ÷ 131072     		y = 0.527603149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494644165039062 × 2 - 1) × π
    -0.010711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03365170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527603149414062 × 2 - 1) × π
    -0.055206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.173435702825363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03365170} λ = -0.03365170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173435702825363))-π/2
    2×atan(0.840771208637223)-π/2
    2×0.699111815679523-π/2
    1.39822363135905-1.57079632675     		φ = -0.17257270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03365170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.928100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17257270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.887687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64834 KachelY 69154 -0.03365170 -0.17257270 -1.928100 -9.887687
    Oben rechts KachelX + 1 64835 KachelY 69154 -0.03360377 -0.17257270 -1.925354 -9.887687
    Unten links KachelX 64834 KachelY + 1 69155 -0.03365170 -0.17261992 -1.928100 -9.890393
    Unten rechts KachelX + 1 64835 KachelY + 1 69155 -0.03360377 -0.17261992 -1.925354 -9.890393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17257270--0.17261992) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17257270--0.17261992) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03365170--0.03360377) × cos(-0.17257270) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98514625027508 × 6371000     		do = 300.826258830896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03365170--0.03360377) × cos(-0.17261992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985138140681136 × 6371000     		du = 300.823782468827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17257270)-sin(-0.17261992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98514625027508-0.985138140681136)×R²
    abs(-0.03360377--0.03365170)×8.10959394381694e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.10959394381694e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.10959394381694e-06×40589641000000     		ar = 90499.7840906325m²