Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64833 / 69156
↖ ↑ ↗
← S  9.893098°
W  1.930847°		 ← 300.88 m → S  9.893098°
W  1.928100°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.895804°
W  1.930847°		 ← 300.88 m →
90 536 m²		 S  9.895804°
W  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494640350341797 y=0.527622222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494640350341797 × 217)
    floor (0.494640350341797 × 131072)
    floor (64833.5)     		tx = 64833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527622222900391 × 217)
    floor (0.527622222900391 × 131072)
    floor (69156.5)     		ty = 69156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64833 / 69156 ti = "17/64833/69156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64833/69156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64833 ÷ 217
    64833 ÷ 131072     		x = 0.494636535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69156 ÷ 217
    69156 ÷ 131072     		y = 0.527618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494636535644531 × 2 - 1) × π
    -0.0107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03369964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.05523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.173531576624603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03369964} λ = -0.03369964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173531576624603))-π/2
    2×atan(0.84069060457113)-π/2
    2×0.699064591211379-π/2
    1.39812918242276-1.57079632675     		φ = -0.17266714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03369964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.930847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17266714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.893098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64833 KachelY 69156 -0.03369964 -0.17266714 -1.930847 -9.893098
    Oben rechts KachelX + 1 64834 KachelY 69156 -0.03365170 -0.17266714 -1.928100 -9.893098
    Unten links KachelX 64833 KachelY + 1 69157 -0.03369964 -0.17271437 -1.930847 -9.895804
    Unten rechts KachelX + 1 64834 KachelY + 1 69157 -0.03365170 -0.17271437 -1.928100 -9.895804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17266714--0.17271437) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17266714--0.17271437) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(-0.17266714) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985130028890602 × 6371000     		do = 300.884068070154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(-0.17271437) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985121913184925 × 6371000     		du = 300.881589324742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17266714)-sin(-0.17271437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985130028890602-0.985121913184925)×R²
    abs(-0.03365170--0.03369964)×8.11570567638142e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.11570567638142e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.11570567638142e-06×40589641000000     		ar = 90536.3442289164m²