Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64833 / 69072
↖ ↑ ↗
← S  9.665738°
W  1.930847°		 ← 301.09 m → S  9.665738°
W  1.928100°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.668446°
W  1.930847°		 ← 301.09 m →
90 656 m²		 S  9.668446°
W  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494640350341797 y=0.526981353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494640350341797 × 217)
    floor (0.494640350341797 × 131072)
    floor (64833.5)     		tx = 64833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526981353759766 × 217)
    floor (0.526981353759766 × 131072)
    floor (69072.5)     		ty = 69072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64833 / 69072 ti = "17/64833/69072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64833/69072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64833 ÷ 217
    64833 ÷ 131072     		x = 0.494636535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69072 ÷ 217
    69072 ÷ 131072     		y = 0.5269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494636535644531 × 2 - 1) × π
    -0.0107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03369964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03369964} λ = -0.03369964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169504877056519))-π/2
    2×atan(0.844082637831593)-π/2
    2×0.701048683583599-π/2
    1.4020973671672-1.57079632675     		φ = -0.16869896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03369964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.930847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16869896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.665738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64833 KachelY 69072 -0.03369964 -0.16869896 -1.930847 -9.665738
    Oben rechts KachelX + 1 64834 KachelY 69072 -0.03365170 -0.16869896 -1.928100 -9.665738
    Unten links KachelX 64833 KachelY + 1 69073 -0.03369964 -0.16874622 -1.930847 -9.668446
    Unten rechts KachelX + 1 64834 KachelY + 1 69073 -0.03365170 -0.16874622 -1.928100 -9.668446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16869896--0.16874622) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16869896--0.16874622) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(-0.16869896) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985804045698839 × 6371000     		do = 301.089930152582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(-0.16874622) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985796109647674 × 6371000     		du = 301.087506278282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16869896)-sin(-0.16874622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985804045698839-0.985796109647674)×R²
    abs(-0.03365170--0.03369964)×7.93605116566898e-06×R²
    4.79400000000033e-05×7.93605116566898e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×7.93605116566898e-06×40589641000000     		ar = 90655.8439512966m²