Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64830 / 69141
↖ ↑ ↗
← S  9.852510°
W  1.939087°		 ← 300.92 m → S  9.852510°
W  1.936340°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.855216°
W  1.939087°		 ← 300.92 m →
90 548 m²		 S  9.855216°
W  1.936340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494617462158203 y=0.527507781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494617462158203 × 217)
    floor (0.494617462158203 × 131072)
    floor (64830.5)     		tx = 64830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527507781982422 × 217)
    floor (0.527507781982422 × 131072)
    floor (69141.5)     		ty = 69141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64830 / 69141 ti = "17/64830/69141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64830/69141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64830 ÷ 217
    64830 ÷ 131072     		x = 0.494613647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69141 ÷ 217
    69141 ÷ 131072     		y = 0.527503967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494613647460938 × 2 - 1) × π
    -0.010772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03384345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527503967285156 × 2 - 1) × π
    -0.0550079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172812523130302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03384345} λ = -0.03384345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172812523130302))-π/2
    2×atan(0.841295323474537)-π/2
    2×0.699418793655087-π/2
    1.39883758731017-1.57079632675     		φ = -0.17195874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03384345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.939087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17195874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.852510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64830 KachelY 69141 -0.03384345 -0.17195874 -1.939087 -9.852510
    Oben rechts KachelX + 1 64831 KachelY 69141 -0.03379551 -0.17195874 -1.936340 -9.852510
    Unten links KachelX 64830 KachelY + 1 69142 -0.03384345 -0.17200597 -1.939087 -9.855216
    Unten rechts KachelX + 1 64831 KachelY + 1 69142 -0.03379551 -0.17200597 -1.936340 -9.855216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17195874--0.17200597) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17195874--0.17200597) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03384345--0.03379551) × cos(-0.17195874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985251492209653 × 6371000     		do = 300.921166094214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03384345--0.03379551) × cos(-0.17200597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985243409466091 × 6371000     		du = 300.918697416281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17195874)-sin(-0.17200597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985251492209653-0.985243409466091)×R²
    abs(-0.03379551--0.03384345)×8.08274356212113e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.08274356212113e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.08274356212113e-06×40589641000000     		ar = 90547.5086254495m²