Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64827 / 69203
↖ ↑ ↗
← S 10.020243°
W  1.947327°		 ← 300.77 m → S 10.020243°
W  1.944580°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S 10.022948°
W  1.947327°		 ← 300.76 m →
90 463 m²		 S 10.022948°
W  1.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494594573974609 y=0.527980804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494594573974609 × 217)
    floor (0.494594573974609 × 131072)
    floor (64827.5)     		tx = 64827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527980804443359 × 217)
    floor (0.527980804443359 × 131072)
    floor (69203.5)     		ty = 69203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64827 / 69203 ti = "17/64827/69203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64827/69203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64827 ÷ 217
    64827 ÷ 131072     		x = 0.494590759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69203 ÷ 217
    69203 ÷ 131072     		y = 0.527976989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494590759277344 × 2 - 1) × π
    -0.0108184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03398726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527976989746094 × 2 - 1) × π
    -0.0559539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.175784610906746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03398726} λ = -0.03398726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175784610906746))-π/2
    2×atan(0.838798631958265)-π/2
    2×0.697955041023824-π/2
    1.39591008204765-1.57079632675     		φ = -0.17488624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03398726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.947327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17488624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.020243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64827 KachelY 69203 -0.03398726 -0.17488624 -1.947327 -10.020243
    Oben rechts KachelX + 1 64828 KachelY 69203 -0.03393932 -0.17488624 -1.944580 -10.020243
    Unten links KachelX 64827 KachelY + 1 69204 -0.03398726 -0.17493345 -1.947327 -10.022948
    Unten rechts KachelX + 1 64828 KachelY + 1 69204 -0.03393932 -0.17493345 -1.944580 -10.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17488624--0.17493345) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dl = 300.774909999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17488624--0.17493345) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dr = 300.774909999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03398726--0.03393932) × cos(-0.17488624) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984746339074784 × 6371000     		do = 300.766879324184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03398726--0.03393932) × cos(-0.17493345) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984738123620853 × 6371000     		du = 300.764370113087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17488624)-sin(-0.17493345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984746339074784-0.984738123620853)×R²
    abs(-0.03393932--0.03398726)×8.21545393125955e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.21545393125955e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.21545393125955e-06×40589641000000     		ar = 90462.7537226136m²