Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64824 / 69094
↖ ↑ ↗
← S  9.725300°
W  1.955566°		 ← 300.97 m → S  9.725300°
W  1.952820°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.728007°
W  1.955566°		 ← 300.97 m →
90 602 m²		 S  9.728007°
W  1.952820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494571685791016 y=0.527149200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494571685791016 × 217)
    floor (0.494571685791016 × 131072)
    floor (64824.5)     		tx = 64824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527149200439453 × 217)
    floor (0.527149200439453 × 131072)
    floor (69094.5)     		ty = 69094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64824 / 69094 ti = "17/64824/69094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64824/69094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64824 ÷ 217
    64824 ÷ 131072     		x = 0.49456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69094 ÷ 217
    69094 ÷ 131072     		y = 0.527145385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03413107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.054290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.17055948884816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03413107} λ = -0.03413107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17055948884816))-π/2
    2×atan(0.843192927560549)-π/2
    2×0.70052890941114-π/2
    1.40105781882228-1.57079632675     		φ = -0.16973851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03413107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16973851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.725300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64824 KachelY 69094 -0.03413107 -0.16973851 -1.955566 -9.725300
    Oben rechts KachelX + 1 64825 KachelY 69094 -0.03408314 -0.16973851 -1.952820 -9.725300
    Unten links KachelX 64824 KachelY + 1 69095 -0.03413107 -0.16978576 -1.955566 -9.728007
    Unten rechts KachelX + 1 64825 KachelY + 1 69095 -0.03408314 -0.16978576 -1.952820 -9.728007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16973851--0.16978576) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16973851--0.16978576) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03413107--0.03408314) × cos(-0.16973851) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98562897270584 × 6371000     		do = 300.97366393228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03413107--0.03408314) × cos(-0.16978576) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98562098991718 × 6371000     		du = 300.971226291729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16973851)-sin(-0.16978576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98562897270584-0.98562098991718)×R²
    abs(-0.03408314--0.03413107)×7.98278865998814e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.98278865998814e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.98278865998814e-06×40589641000000     		ar = 90601.6599258419m²