Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64815 / 69233
↖ ↑ ↗
← S 10.101374°
W  1.980285°		 ← 300.63 m → S 10.101374°
W  1.977539°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.104078°
W  1.980285°		 ← 300.63 m →
90 383 m²		 S 10.104078°
W  1.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494503021240234 y=0.528209686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494503021240234 × 217)
    floor (0.494503021240234 × 131072)
    floor (64815.5)     		tx = 64815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528209686279297 × 217)
    floor (0.528209686279297 × 131072)
    floor (69233.5)     		ty = 69233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64815 / 69233 ti = "17/64815/69233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64815/69233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64815 ÷ 217
    64815 ÷ 131072     		x = 0.494499206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69233 ÷ 217
    69233 ÷ 131072     		y = 0.528205871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494499206542969 × 2 - 1) × π
    -0.0110015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03456250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528205871582031 × 2 - 1) × π
    -0.0564117431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177222717895348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03456250} λ = -0.03456250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177222717895348))-π/2
    2×atan(0.837593216749382)-π/2
    2×0.697247044547859-π/2
    1.39449408909572-1.57079632675     		φ = -0.17630224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03456250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.980285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17630224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.101374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64815 KachelY 69233 -0.03456250 -0.17630224 -1.980285 -10.101374
    Oben rechts KachelX + 1 64816 KachelY 69233 -0.03451457 -0.17630224 -1.977539 -10.101374
    Unten links KachelX 64815 KachelY + 1 69234 -0.03456250 -0.17634943 -1.980285 -10.104078
    Unten rechts KachelX + 1 64816 KachelY + 1 69234 -0.03451457 -0.17634943 -1.977539 -10.104078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17630224--0.17634943) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17630224--0.17634943) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03456250--0.03451457) × cos(-0.17630224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984498973424115 × 6371000     		do = 300.628605057714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03456250--0.03451457) × cos(-0.17634943) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98449069565779 × 6371000     		du = 300.626077342185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17630224)-sin(-0.17634943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984498973424115-0.98449069565779)×R²
    abs(-0.03451457--0.03456250)×8.2777663248379e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.2777663248379e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.2777663248379e-06×40589641000000     		ar = 90382.8555739088m²