Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64813 / 69237
↖ ↑ ↗
← S 10.112190°
W  1.985779°		 ← 300.68 m → S 10.112190°
W  1.983032°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.114894°
W  1.985779°		 ← 300.68 m →
90 399 m²		 S 10.114894°
W  1.983032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494487762451172 y=0.528240203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494487762451172 × 217)
    floor (0.494487762451172 × 131072)
    floor (64813.5)     		tx = 64813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528240203857422 × 217)
    floor (0.528240203857422 × 131072)
    floor (69237.5)     		ty = 69237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64813 / 69237 ti = "17/64813/69237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64813/69237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64813 ÷ 217
    64813 ÷ 131072     		x = 0.494483947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69237 ÷ 217
    69237 ÷ 131072     		y = 0.528236389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494483947753906 × 2 - 1) × π
    -0.0110321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03465838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528236389160156 × 2 - 1) × π
    -0.0564727783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.177414465493828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03465838} λ = -0.03465838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177414465493828))-π/2
    2×atan(0.837432625658537)-π/2
    2×0.697152658478593-π/2
    1.39430531695719-1.57079632675     		φ = -0.17649101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03465838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.985779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17649101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.112190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64813 KachelY 69237 -0.03465838 -0.17649101 -1.985779 -10.112190
    Oben rechts KachelX + 1 64814 KachelY 69237 -0.03461044 -0.17649101 -1.983032 -10.112190
    Unten links KachelX 64813 KachelY + 1 69238 -0.03465838 -0.17653820 -1.985779 -10.114894
    Unten rechts KachelX + 1 64814 KachelY + 1 69238 -0.03461044 -0.17653820 -1.983032 -10.114894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17649101--0.17653820) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17649101--0.17653820) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03465838--0.03461044) × cos(-0.17649101) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984465847448977 × 6371000     		do = 300.681209961851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03465838--0.03461044) × cos(-0.17653820) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984457560912864 × 6371000     		du = 300.678679040427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17649101)-sin(-0.17653820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984465847448977-0.984457560912864)×R²
    abs(-0.03461044--0.03465838)×8.28653611273378e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.28653611273378e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.28653611273378e-06×40589641000000     		ar = 90398.6706243657m²