Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64811 / 69239
↖ ↑ ↗
← S 10.117598°
W  1.991272°		 ← 300.61 m → S 10.117598°
W  1.988526°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.120301°
W  1.991272°		 ← 300.61 m →
90 378 m²		 S 10.120301°
W  1.988526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494472503662109 y=0.528255462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494472503662109 × 217)
    floor (0.494472503662109 × 131072)
    floor (64811.5)     		tx = 64811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528255462646484 × 217)
    floor (0.528255462646484 × 131072)
    floor (69239.5)     		ty = 69239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64811 / 69239 ti = "17/64811/69239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64811/69239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64811 ÷ 217
    64811 ÷ 131072     		x = 0.494468688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69239 ÷ 217
    69239 ÷ 131072     		y = 0.528251647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494468688964844 × 2 - 1) × π
    -0.0110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03475425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528251647949219 × 2 - 1) × π
    -0.0565032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.177510339293068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03475425} λ = -0.03475425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177510339293068))-π/2
    2×atan(0.837352341659735)-π/2
    2×0.697105466635348-π/2
    1.3942109332707-1.57079632675     		φ = -0.17658539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03475425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.991272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17658539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.117598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64811 KachelY 69239 -0.03475425 -0.17658539 -1.991272 -10.117598
    Oben rechts KachelX + 1 64812 KachelY 69239 -0.03470632 -0.17658539 -1.988526 -10.117598
    Unten links KachelX 64811 KachelY + 1 69240 -0.03475425 -0.17663258 -1.991272 -10.120301
    Unten rechts KachelX + 1 64812 KachelY + 1 69240 -0.03470632 -0.17663258 -1.988526 -10.120301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17658539--0.17663258) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17658539--0.17663258) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03475425--0.03470632) × cos(-0.17658539) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984449272184466 × 6371000     		do = 300.613428186281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03475425--0.03470632) × cos(-0.17663258) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		du = 300.610896453917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17658539)-sin(-0.17663258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984449272184466-0.984440981263803)×R²
    abs(-0.03470632--0.03475425)×8.29092066356729e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.29092066356729e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.29092066356729e-06×40589641000000     		ar = 90378.2920817825m²