Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64810 / 69242
↖ ↑ ↗
← S 10.125710°
W  1.994019°		 ← 300.67 m → S 10.125710°
W  1.991272°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.128413°
W  1.994019°		 ← 300.67 m →
90 395 m²		 S 10.128413°
W  1.991272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494464874267578 y=0.528278350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494464874267578 × 217)
    floor (0.494464874267578 × 131072)
    floor (64810.5)     		tx = 64810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528278350830078 × 217)
    floor (0.528278350830078 × 131072)
    floor (69242.5)     		ty = 69242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64810 / 69242 ti = "17/64810/69242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64810/69242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64810 ÷ 217
    64810 ÷ 131072     		x = 0.494461059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69242 ÷ 217
    69242 ÷ 131072     		y = 0.528274536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494461059570312 × 2 - 1) × π
    -0.011077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03480219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.056549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177654149991928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03480219} λ = -0.03480219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177654149991928))-π/2
    2×atan(0.837231930092732)-π/2
    2×0.697034680360861-π/2
    1.39406936072172-1.57079632675     		φ = -0.17672697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03480219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.994019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17672697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.125710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64810 KachelY 69242 -0.03480219 -0.17672697 -1.994019 -10.125710
    Oben rechts KachelX + 1 64811 KachelY 69242 -0.03475425 -0.17672697 -1.991272 -10.125710
    Unten links KachelX 64810 KachelY + 1 69243 -0.03480219 -0.17677416 -1.994019 -10.128413
    Unten rechts KachelX + 1 64811 KachelY + 1 69243 -0.03475425 -0.17677416 -1.991272 -10.128413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17672697--0.17677416) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17672697--0.17677416) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03480219--0.03475425) × cos(-0.17672697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984424391087666 × 6371000     		do = 300.668548121977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03480219--0.03475425) × cos(-0.17677416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98441609358985 × 6371000     		du = 300.666013852566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17672697)-sin(-0.17677416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984424391087666-0.98441609358985)×R²
    abs(-0.03475425--0.03480219)×8.29749781616762e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.29749781616762e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.29749781616762e-06×40589641000000     		ar = 90394.8633706924m²