Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64806 / 31853
↖ ↑ ↗
← N 67.494906°
W  2.005005°		 ← 116.91 m → N 67.494906°
W  2.002258°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
N 67.493854°
W  2.005005°		 ← 116.91 m →
13 668 m²		 N 67.493854°
W  2.002258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494434356689453 y=0.243022918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494434356689453 × 217)
    floor (0.494434356689453 × 131072)
    floor (64806.5)     		tx = 64806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243022918701172 × 217)
    floor (0.243022918701172 × 131072)
    floor (31853.5)     		ty = 31853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64806 / 31853 ti = "17/64806/31853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64806/31853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64806 ÷ 217
    64806 ÷ 131072     		x = 0.494430541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31853 ÷ 217
    31853 ÷ 131072     		y = 0.243019104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494430541992188 × 2 - 1) × π
    -0.011138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03499394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243019104003906 × 2 - 1) × π
    0.513961791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.61465858990235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03499394} λ = -0.03499394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61465858990235))-π/2
    2×atan(5.02617164475594)-π/2
    2×1.37440232746709-π/2
    2.74880465493418-1.57079632675     		φ = 1.17800833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03499394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.005005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17800833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.494906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64806 KachelY 31853 -0.03499394 1.17800833 -2.005005 67.494906
    Oben rechts KachelX + 1 64807 KachelY 31853 -0.03494600 1.17800833 -2.002258 67.494906
    Unten links KachelX 64806 KachelY + 1 31854 -0.03499394 1.17798998 -2.005005 67.493854
    Unten rechts KachelX + 1 64807 KachelY + 1 31854 -0.03494600 1.17798998 -2.002258 67.493854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17800833-1.17798998) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17800833-1.17798998) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03499394--0.03494600) × cos(1.17800833) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382765577689739 × 6371000     		do = 116.906459812424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03499394--0.03494600) × cos(1.17798998) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382782530190267 × 6371000     		du = 116.911637542442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17800833)-sin(1.17798998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382765577689739-0.382782530190267)×R²
    abs(-0.03494600--0.03499394)×1.69525005274118e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.69525005274118e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.69525005274118e-05×40589641000000     		ar = 13667.5855267329m²