Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 648 / 392
↖ ↑ ↗
← N 80.983688°
W123.046875°		 ← 1 531.58 m → N 80.983688°
W122.958984°		 →
↑
1 532.74 m
↓
↑
1 532.74 m
↓
N 80.969904°
W123.046875°		 ← 1 533.90 m →
2 349 286 m²		 N 80.969904°
W122.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1583251953125 y=0.0958251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1583251953125 × 212)
    floor (0.1583251953125 × 4096)
    floor (648.5)     		tx = 648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958251953125 × 212)
    floor (0.0958251953125 × 4096)
    floor (392.5)     		ty = 392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 648 / 392 ti = "12/648/392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/648/392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 648 ÷ 212
    648 ÷ 4096     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 392 ÷ 212
    392 ÷ 4096     		y = 0.095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095703125 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54027218466602))-π/2
    2×atan(12.6831226525684)-π/2
    2×1.49211416408574-π/2
    2.98422832817148-1.57079632675     		φ = 1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 648 KachelY 392 -2.14757310 1.41343200 -123.046875 80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 649 KachelY 392 -2.14603912 1.41343200 -122.958984 80.983688
    Unten links KachelX 648 KachelY + 1 393 -2.14757310 1.41319142 -123.046875 80.969904
    Unten rechts KachelX + 1 649 KachelY + 1 393 -2.14603912 1.41319142 -122.958984 80.969904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41343200-1.41319142) × R
    0.000240580000000046 × 6371000     		dl = 1532.73518000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41343200-1.41319142) × R
    0.000240580000000046 × 6371000     		dr = 1532.73518000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14603912) × cos(1.41343200) × R
    0.0015339799999996 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 1531.57992238807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14603912) × cos(1.41319142) × R
    0.0015339799999996 × 0.156953250554634 × 6371000     		du = 1533.90201135742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41343200)-sin(1.41319142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.156953250554634)×R²
    abs(-2.14603912--2.14757310)×0.000237602799343067×R²
    0.0015339799999996×0.000237602799343067×6371000²
    0.0015339799999996×0.000237602799343067×40589641000000     		ar = 2349286.01308591m²