Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64798 / 69294
↖ ↑ ↗
← S 10.266276°
W  2.026977°		 ← 300.47 m → S 10.266276°
W  2.024231°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.268979°
W  2.026977°		 ← 300.47 m →
90 298 m²		 S 10.268979°
W  2.024231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494373321533203 y=0.528675079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494373321533203 × 217)
    floor (0.494373321533203 × 131072)
    floor (64798.5)     		tx = 64798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528675079345703 × 217)
    floor (0.528675079345703 × 131072)
    floor (69294.5)     		ty = 69294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64798 / 69294 ti = "17/64798/69294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64798/69294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64798 ÷ 217
    64798 ÷ 131072     		x = 0.494369506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69294 ÷ 217
    69294 ÷ 131072     		y = 0.528671264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494369506835938 × 2 - 1) × π
    -0.011260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03537743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528671264648438 × 2 - 1) × π
    -0.057342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180146868772171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03537743} λ = -0.03537743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180146868772171))-π/2
    2×atan(0.835147545309021)-π/2
    2×0.69580800381691-π/2
    1.39161600763382-1.57079632675     		φ = -0.17918032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03537743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.026977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17918032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.266276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64798 KachelY 69294 -0.03537743 -0.17918032 -2.026977 -10.266276
    Oben rechts KachelX + 1 64799 KachelY 69294 -0.03532950 -0.17918032 -2.024231 -10.266276
    Unten links KachelX 64798 KachelY + 1 69295 -0.03537743 -0.17922749 -2.026977 -10.268979
    Unten rechts KachelX + 1 64799 KachelY + 1 69295 -0.03532950 -0.17922749 -2.024231 -10.268979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17918032--0.17922749) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17918032--0.17922749) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03537743--0.03532950) × cos(-0.17918032) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983990109222314 × 6371000     		do = 300.473217252057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03537743--0.03532950) × cos(-0.17922749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983981701345111 × 6371000     		du = 300.470649805607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17918032)-sin(-0.17922749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983990109222314-0.983981701345111)×R²
    abs(-0.03532950--0.03537743)×8.40787720290948e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.40787720290948e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.40787720290948e-06×40589641000000     		ar = 90297.8465137986m²