Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64796 / 75028
↖ ↑ ↗
← S 25.214881°
W  2.032471°		 ← 276.32 m → S 25.214881°
W  2.029724°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
S 25.217366°
W  2.032471°		 ← 276.32 m →
76 333 m²		 S 25.217366°
W  2.029724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494358062744141 y=0.572422027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494358062744141 × 217)
    floor (0.494358062744141 × 131072)
    floor (64796.5)     		tx = 64796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572422027587891 × 217)
    floor (0.572422027587891 × 131072)
    floor (75028.5)     		ty = 75028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64796 / 75028 ti = "17/64796/75028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64796/75028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64796 ÷ 217
    64796 ÷ 131072     		x = 0.494354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75028 ÷ 217
    75028 ÷ 131072     		y = 0.572418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.01129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03547331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.455017051193573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03547331} λ = -0.03547331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.455017051193573))-π/2
    2×atan(0.634437149945345)-π/2
    2×0.565356815808302-π/2
    1.1307136316166-1.57079632675     		φ = -0.44008270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03547331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44008270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.214881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64796 KachelY 75028 -0.03547331 -0.44008270 -2.032471 -25.214881
    Oben rechts KachelX + 1 64797 KachelY 75028 -0.03542537 -0.44008270 -2.029724 -25.214881
    Unten links KachelX 64796 KachelY + 1 75029 -0.03547331 -0.44012606 -2.032471 -25.217366
    Unten rechts KachelX + 1 64797 KachelY + 1 75029 -0.03542537 -0.44012606 -2.029724 -25.217366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44008270--0.44012606) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44008270--0.44012606) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03547331--0.03542537) × cos(-0.44008270) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.904716434932313 × 6371000     		do = 276.323686629382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03547331--0.03542537) × cos(-0.44012606) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.904697962102379 × 6371000     		du = 276.31804455163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44008270)-sin(-0.44012606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904716434932313-0.904697962102379)×R²
    abs(-0.03542537--0.03547331)×1.84728299339465e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.84728299339465e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.84728299339465e-05×40589641000000     		ar = 76332.688587583m²