Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64793 / 69258
↖ ↑ ↗
← S 10.168967°
W  2.040711°		 ← 300.63 m → S 10.168967°
W  2.037964°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.171670°
W  2.040711°		 ← 300.63 m →
90 363 m²		 S 10.171670°
W  2.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494335174560547 y=0.528400421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494335174560547 × 217)
    floor (0.494335174560547 × 131072)
    floor (64793.5)     		tx = 64793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528400421142578 × 217)
    floor (0.528400421142578 × 131072)
    floor (69258.5)     		ty = 69258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64793 / 69258 ti = "17/64793/69258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64793/69258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64793 ÷ 217
    64793 ÷ 131072     		x = 0.494331359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69258 ÷ 217
    69258 ÷ 131072     		y = 0.528396606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494331359863281 × 2 - 1) × π
    -0.0113372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03561712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528396606445312 × 2 - 1) × π
    -0.056793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.178421140385849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03561712} λ = -0.03561712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178421140385849))-π/2
    2×atan(0.836590027442918)-π/2
    2×0.696657183822741-π/2
    1.39331436764548-1.57079632675     		φ = -0.17748196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03561712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.040711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17748196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.168967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64793 KachelY 69258 -0.03561712 -0.17748196 -2.040711 -10.168967
    Oben rechts KachelX + 1 64794 KachelY 69258 -0.03556918 -0.17748196 -2.037964 -10.168967
    Unten links KachelX 64793 KachelY + 1 69259 -0.03561712 -0.17752914 -2.040711 -10.171670
    Unten rechts KachelX + 1 64794 KachelY + 1 69259 -0.03556918 -0.17752914 -2.037964 -10.171670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17748196--0.17752914) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17748196--0.17752914) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03561712--0.03556918) × cos(-0.17748196) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984291376897468 × 6371000     		do = 300.627922164548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03561712--0.03556918) × cos(-0.17752914) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984283046095098 × 6371000     		du = 300.62537772307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17748196)-sin(-0.17752914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984291376897468-0.984283046095098)×R²
    abs(-0.03556918--0.03561712)×8.3308023699491e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.3308023699491e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.3308023699491e-06×40589641000000     		ar = 90363.4948256306m²