Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64793 / 31863
↖ ↑ ↗
← N 67.484390°
W  2.040711°		 ← 116.96 m → N 67.484390°
W  2.037964°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
N 67.483338°
W  2.040711°		 ← 116.96 m →
13 681 m²		 N 67.483338°
W  2.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494335174560547 y=0.243099212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494335174560547 × 217)
    floor (0.494335174560547 × 131072)
    floor (64793.5)     		tx = 64793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243099212646484 × 217)
    floor (0.243099212646484 × 131072)
    floor (31863.5)     		ty = 31863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64793 / 31863 ti = "17/64793/31863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64793/31863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64793 ÷ 217
    64793 ÷ 131072     		x = 0.494331359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31863 ÷ 217
    31863 ÷ 131072     		y = 0.243095397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494331359863281 × 2 - 1) × π
    -0.0113372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03561712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243095397949219 × 2 - 1) × π
    0.513809204101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.61417922090615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03561712} λ = -0.03561712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61417922090615))-π/2
    2×atan(5.02376283130124)-π/2
    2×1.37431056417403-π/2
    2.74862112834807-1.57079632675     		φ = 1.17782480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03561712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.040711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17782480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.484390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64793 KachelY 31863 -0.03561712 1.17782480 -2.040711 67.484390
    Oben rechts KachelX + 1 64794 KachelY 31863 -0.03556918 1.17782480 -2.037964 67.484390
    Unten links KachelX 64793 KachelY + 1 31864 -0.03561712 1.17780644 -2.040711 67.483338
    Unten rechts KachelX + 1 64794 KachelY + 1 31864 -0.03556918 1.17780644 -2.037964 67.483338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17782480-1.17780644) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dl = 116.971560000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17782480-1.17780644) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dr = 116.971560000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03561712--0.03556918) × cos(1.17782480) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382935124607469 × 6371000     		do = 116.958243805236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03561712--0.03556918) × cos(1.17780644) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382952085056296 × 6371000     		du = 116.96342396287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17782480)-sin(1.17780644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382935124607469-0.382952085056296)×R²
    abs(-0.03556918--0.03561712)×1.69604488271524e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.69604488271524e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.69604488271524e-05×40589641000000     		ar = 13681.0911988306m²