Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64791 / 31869
↖ ↑ ↗
← N 67.478079°
W  2.046204°		 ← 116.99 m → N 67.478079°
W  2.043457°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
N 67.477026°
W  2.046204°		 ← 116.99 m →
13 692 m²		 N 67.477026°
W  2.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494319915771484 y=0.243144989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494319915771484 × 217)
    floor (0.494319915771484 × 131072)
    floor (64791.5)     		tx = 64791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243144989013672 × 217)
    floor (0.243144989013672 × 131072)
    floor (31869.5)     		ty = 31869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64791 / 31869 ti = "17/64791/31869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64791/31869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64791 ÷ 217
    64791 ÷ 131072     		x = 0.494316101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31869 ÷ 217
    31869 ÷ 131072     		y = 0.243141174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494316101074219 × 2 - 1) × π
    -0.0113677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03571299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243141174316406 × 2 - 1) × π
    0.513717651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.61389159950843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03571299} λ = -0.03571299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61389159950843))-π/2
    2×atan(5.02231809739204)-π/2
    2×1.37425548668981-π/2
    2.74851097337962-1.57079632675     		φ = 1.17771465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03571299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.046204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17771465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.478079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64791 KachelY 31869 -0.03571299 1.17771465 -2.046204 67.478079
    Oben rechts KachelX + 1 64792 KachelY 31869 -0.03566505 1.17771465 -2.043457 67.478079
    Unten links KachelX 64791 KachelY + 1 31870 -0.03571299 1.17769628 -2.046204 67.477026
    Unten rechts KachelX + 1 64792 KachelY + 1 31870 -0.03566505 1.17769628 -2.043457 67.477026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17771465-1.17769628) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17771465-1.17769628) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03571299--0.03566505) × cos(1.17771465) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.383036876126649 × 6371000     		do = 116.989321338278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03571299--0.03566505) × cos(1.17769628) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.383053845038186 × 6371000     		du = 116.994504080641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17771465)-sin(1.17769628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383036876126649-0.383053845038186)×R²
    abs(-0.03566505--0.03571299)×1.69689115367966e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.69689115367966e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.69689115367966e-05×40589641000000     		ar = 13692.1800922831m²