Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64790 / 69266
↖ ↑ ↗
← S 10.190594°
W  2.048950°		 ← 300.61 m → S 10.190594°
W  2.046204°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.193297°
W  2.048950°		 ← 300.60 m →
90 357 m²		 S 10.193297°
W  2.046204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494312286376953 y=0.528461456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494312286376953 × 217)
    floor (0.494312286376953 × 131072)
    floor (64790.5)     		tx = 64790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528461456298828 × 217)
    floor (0.528461456298828 × 131072)
    floor (69266.5)     		ty = 69266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64790 / 69266 ti = "17/64790/69266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64790/69266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64790 ÷ 217
    64790 ÷ 131072     		x = 0.494308471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69266 ÷ 217
    69266 ÷ 131072     		y = 0.528457641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494308471679688 × 2 - 1) × π
    -0.011383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03576093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528457641601562 × 2 - 1) × π
    -0.056915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.178804635582809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03576093} λ = -0.03576093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178804635582809))-π/2
    2×atan(0.836269260695754)-π/2
    2×0.696468454708655-π/2
    1.39293690941731-1.57079632675     		φ = -0.17785942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03576093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.048950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17785942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.190594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64790 KachelY 69266 -0.03576093 -0.17785942 -2.048950 -10.190594
    Oben rechts KachelX + 1 64791 KachelY 69266 -0.03571299 -0.17785942 -2.046204 -10.190594
    Unten links KachelX 64790 KachelY + 1 69267 -0.03576093 -0.17790660 -2.048950 -10.193297
    Unten rechts KachelX + 1 64791 KachelY + 1 69267 -0.03571299 -0.17790660 -2.046204 -10.193297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17785942--0.17790660) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17785942--0.17790660) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03576093--0.03571299) × cos(-0.17785942) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984224665594003 × 6371000     		do = 300.607546815321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03576093--0.03571299) × cos(-0.17790660) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984216317263486 × 6371000     		du = 300.604997020296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17785942)-sin(-0.17790660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984224665594003-0.984216317263486)×R²
    abs(-0.03571299--0.03576093)×8.34833051654993e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.34833051654993e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.34833051654993e-06×40589641000000     		ar = 90357.3695215511m²