Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64788 / 31870
↖ ↑ ↗
← N 67.477026°
W  2.054443°		 ← 116.99 m → N 67.477026°
W  2.051697°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
N 67.475974°
W  2.054443°		 ← 117 m →
13 685 m²		 N 67.475974°
W  2.051697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494297027587891 y=0.243152618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494297027587891 × 217)
    floor (0.494297027587891 × 131072)
    floor (64788.5)     		tx = 64788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243152618408203 × 217)
    floor (0.243152618408203 × 131072)
    floor (31870.5)     		ty = 31870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64788 / 31870 ti = "17/64788/31870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64788/31870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64788 ÷ 217
    64788 ÷ 131072     		x = 0.494293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31870 ÷ 217
    31870 ÷ 131072     		y = 0.243148803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.01141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03585680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243148803710938 × 2 - 1) × π
    0.513702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61384366260881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03585680} λ = -0.03585680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61384366260881))-π/2
    2×atan(5.02207734880396)-π/2
    2×1.37424630568633-π/2
    2.74849261137265-1.57079632675     		φ = 1.17769628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03585680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17769628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.477026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64788 KachelY 31870 -0.03585680 1.17769628 -2.054443 67.477026
    Oben rechts KachelX + 1 64789 KachelY 31870 -0.03580886 1.17769628 -2.051697 67.477026
    Unten links KachelX 64788 KachelY + 1 31871 -0.03585680 1.17767792 -2.054443 67.475974
    Unten rechts KachelX + 1 64789 KachelY + 1 31871 -0.03580886 1.17767792 -2.051697 67.475974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17769628-1.17767792) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dl = 116.971559999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17769628-1.17767792) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dr = 116.971559999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03585680--0.03580886) × cos(1.17769628) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.383053845038186 × 6371000     		do = 116.994504080641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03585680--0.03580886) × cos(1.17767792) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.383070804583269 × 6371000     		du = 116.999683962248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17769628)-sin(1.17767792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383053845038186-0.383070804583269)×R²
    abs(-0.03580886--0.03585680)×1.69595450826843e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.69595450826843e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.69595450826843e-05×40589641000000     		ar = 13685.3326033406m²