Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64785 / 75023
↖ ↑ ↗
← S 25.202456°
W  2.062683°		 ← 276.35 m → S 25.202456°
W  2.059936°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
S 25.204941°
W  2.062683°		 ← 276.35 m →
76 358 m²		 S 25.204941°
W  2.059936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494274139404297 y=0.572383880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494274139404297 × 217)
    floor (0.494274139404297 × 131072)
    floor (64785.5)     		tx = 64785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572383880615234 × 217)
    floor (0.572383880615234 × 131072)
    floor (75023.5)     		ty = 75023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64785 / 75023 ti = "17/64785/75023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64785/75023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64785 ÷ 217
    64785 ÷ 131072     		x = 0.494270324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75023 ÷ 217
    75023 ÷ 131072     		y = 0.572380065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494270324707031 × 2 - 1) × π
    -0.0114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03600061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572380065917969 × 2 - 1) × π
    -0.144760131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.454777366695473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03600061} λ = -0.03600061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454777366695473))-π/2
    2×atan(0.634589232920443)-π/2
    2×0.565465244595698-π/2
    1.1309304891914-1.57079632675     		φ = -0.43986584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03600061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.062683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43986584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.202456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64785 KachelY 75023 -0.03600061 -0.43986584 -2.062683 -25.202456
    Oben rechts KachelX + 1 64786 KachelY 75023 -0.03595267 -0.43986584 -2.059936 -25.202456
    Unten links KachelX 64785 KachelY + 1 75024 -0.03600061 -0.43990921 -2.062683 -25.204941
    Unten rechts KachelX + 1 64786 KachelY + 1 75024 -0.03595267 -0.43990921 -2.059936 -25.204941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43986584--0.43990921) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43986584--0.43990921) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03600061--0.03595267) × cos(-0.43986584) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.904808799116155 × 6371000     		do = 276.351897028582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03600061--0.03595267) × cos(-0.43990921) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.904790330535089 × 6371000     		du = 276.346256248543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43986584)-sin(-0.43990921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904808799116155-0.904790330535089)×R²
    abs(-0.03595267--0.03600061)×1.84685810661334e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.84685810661334e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.84685810661334e-05×40589641000000     		ar = 76358.0879922699m²