Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64782 / 75021
↖ ↑ ↗
← S 25.197486°
W  2.070923°		 ← 276.31 m → S 25.197486°
W  2.068177°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
S 25.199971°
W  2.070923°		 ← 276.30 m →
76 345 m²		 S 25.199971°
W  2.068177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494251251220703 y=0.572368621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494251251220703 × 217)
    floor (0.494251251220703 × 131072)
    floor (64782.5)     		tx = 64782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572368621826172 × 217)
    floor (0.572368621826172 × 131072)
    floor (75021.5)     		ty = 75021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64782 / 75021 ti = "17/64782/75021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64782/75021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64782 ÷ 217
    64782 ÷ 131072     		x = 0.494247436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75021 ÷ 217
    75021 ÷ 131072     		y = 0.572364807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494247436523438 × 2 - 1) × π
    -0.011505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03614442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572364807128906 × 2 - 1) × π
    -0.144729614257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.454681492896233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03614442} λ = -0.03614442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454681492896233))-π/2
    2×atan(0.634650076317758)-π/2
    2×0.565508619209645-π/2
    1.13101723841929-1.57079632675     		φ = -0.43977909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03614442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.070923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43977909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.197486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64782 KachelY 75021 -0.03614442 -0.43977909 -2.070923 -25.197486
    Oben rechts KachelX + 1 64783 KachelY 75021 -0.03609649 -0.43977909 -2.068177 -25.197486
    Unten links KachelX 64782 KachelY + 1 75022 -0.03614442 -0.43982246 -2.070923 -25.199971
    Unten rechts KachelX + 1 64783 KachelY + 1 75022 -0.03609649 -0.43982246 -2.068177 -25.199971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43977909--0.43982246) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dl = 276.310270000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43977909--0.43982246) × R
    4.33700000000425e-05 × 6371000     		dr = 276.310270000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03614442--0.03609649) × cos(-0.43977909) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.90484573542993 × 6371000     		do = 276.305530607695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03614442--0.03609649) × cos(-0.43982246) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.904827270253103 × 6371000     		du = 276.299892043815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43977909)-sin(-0.43982246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90484573542993-0.904827270253103)×R²
    abs(-0.03609649--0.03614442)×1.84651768262434e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.84651768262434e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.84651768262434e-05×40589641000000     		ar = 76345.2767802831m²