Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64779 / 69238
↖ ↑ ↗
← S 10.114894°
W  2.079162°		 ← 300.62 m → S 10.114894°
W  2.076416°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.117598°
W  2.079162°		 ← 300.61 m →
90 379 m²		 S 10.117598°
W  2.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494228363037109 y=0.528247833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494228363037109 × 217)
    floor (0.494228363037109 × 131072)
    floor (64779.5)     		tx = 64779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528247833251953 × 217)
    floor (0.528247833251953 × 131072)
    floor (69238.5)     		ty = 69238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64779 / 69238 ti = "17/64779/69238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64779/69238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64779 ÷ 217
    64779 ÷ 131072     		x = 0.494224548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69238 ÷ 217
    69238 ÷ 131072     		y = 0.528244018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494224548339844 × 2 - 1) × π
    -0.0115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03628823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528244018554688 × 2 - 1) × π
    -0.056488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.177462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03628823} λ = -0.03628823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177462402393448))-π/2
    2×atan(0.837392482696995)-π/2
    2×0.697129062457646-π/2
    1.39425812491529-1.57079632675     		φ = -0.17653820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03628823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.079162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17653820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.114894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64779 KachelY 69238 -0.03628823 -0.17653820 -2.079162 -10.114894
    Oben rechts KachelX + 1 64780 KachelY 69238 -0.03624030 -0.17653820 -2.076416 -10.114894
    Unten links KachelX 64779 KachelY + 1 69239 -0.03628823 -0.17658539 -2.079162 -10.117598
    Unten rechts KachelX + 1 64780 KachelY + 1 69239 -0.03624030 -0.17658539 -2.076416 -10.117598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17653820--0.17658539) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17653820--0.17658539) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03628823--0.03624030) × cos(-0.17653820) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.984457560912864 × 6371000     		do = 300.615959249167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03628823--0.03624030) × cos(-0.17658539) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.984449272184466 × 6371000     		du = 300.613428186238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17653820)-sin(-0.17658539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984457560912864-0.984449272184466)×R²
    abs(-0.03624030--0.03628823)×8.2887283974209e-06×R²
    4.79299999999946e-05×8.2887283974209e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×8.2887283974209e-06×40589641000000     		ar = 90379.0531401286m²