Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64777 / 69241
↖ ↑ ↗
← S 10.123006°
W  2.084656°		 ← 300.67 m → S 10.123006°
W  2.081909°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.125710°
W  2.084656°		 ← 300.67 m →
90 396 m²		 S 10.125710°
W  2.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494213104248047 y=0.528270721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494213104248047 × 217)
    floor (0.494213104248047 × 131072)
    floor (64777.5)     		tx = 64777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528270721435547 × 217)
    floor (0.528270721435547 × 131072)
    floor (69241.5)     		ty = 69241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64777 / 69241 ti = "17/64777/69241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64777/69241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64777 ÷ 217
    64777 ÷ 131072     		x = 0.494209289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69241 ÷ 217
    69241 ÷ 131072     		y = 0.528266906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494209289550781 × 2 - 1) × π
    -0.0115814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03638411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528266906738281 × 2 - 1) × π
    -0.0565338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177606213092308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03638411} λ = -0.03638411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177606213092308))-π/2
    2×atan(0.837272065357696)-π/2
    2×0.697058275586905-π/2
    1.39411655117381-1.57079632675     		φ = -0.17667978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03638411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.084656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17667978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.123006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64777 KachelY 69241 -0.03638411 -0.17667978 -2.084656 -10.123006
    Oben rechts KachelX + 1 64778 KachelY 69241 -0.03633617 -0.17667978 -2.081909 -10.123006
    Unten links KachelX 64777 KachelY + 1 69242 -0.03638411 -0.17672697 -2.084656 -10.125710
    Unten rechts KachelX + 1 64778 KachelY + 1 69242 -0.03633617 -0.17672697 -2.081909 -10.125710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17667978--0.17672697) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17667978--0.17672697) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03638411--0.03633617) × cos(-0.17667978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984432686393271 × 6371000     		do = 300.67108172183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03638411--0.03633617) × cos(-0.17672697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984424391087666 × 6371000     		du = 300.668548121977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17667978)-sin(-0.17672697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984432686393271-0.984424391087666)×R²
    abs(-0.03633617--0.03638411)×8.29530560531033e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.29530560531033e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.29530560531033e-06×40589641000000     		ar = 90395.6251918159m²