Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64775 / 69240
↖ ↑ ↗
← S 10.120301°
W  2.090149°		 ← 300.67 m → S 10.120301°
W  2.087402°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.123006°
W  2.090149°		 ← 300.67 m →
90 416 m²		 S 10.123006°
W  2.087402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494197845458984 y=0.528263092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494197845458984 × 217)
    floor (0.494197845458984 × 131072)
    floor (64775.5)     		tx = 64775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528263092041016 × 217)
    floor (0.528263092041016 × 131072)
    floor (69240.5)     		ty = 69240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64775 / 69240 ti = "17/64775/69240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64775/69240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64775 ÷ 217
    64775 ÷ 131072     		x = 0.494194030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69240 ÷ 217
    69240 ÷ 131072     		y = 0.52825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494194030761719 × 2 - 1) × π
    -0.0116119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03647998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177558276192688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03647998} λ = -0.03647998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177558276192688))-π/2
    2×atan(0.837312202546666)-π/2
    2×0.697081871011751-π/2
    1.3941637420235-1.57079632675     		φ = -0.17663258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03647998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.090149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17663258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.120301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64775 KachelY 69240 -0.03647998 -0.17663258 -2.090149 -10.120301
    Oben rechts KachelX + 1 64776 KachelY 69240 -0.03643204 -0.17663258 -2.087402 -10.120301
    Unten links KachelX 64775 KachelY + 1 69241 -0.03647998 -0.17667978 -2.090149 -10.123006
    Unten rechts KachelX + 1 64776 KachelY + 1 69241 -0.03643204 -0.17667978 -2.087402 -10.123006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17663258--0.17667978) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17663258--0.17667978) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03647998--0.03643204) × cos(-0.17663258) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		do = 300.673615188844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03647998--0.03643204) × cos(-0.17667978) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.984432686393271 × 6371000     		du = 300.671081721873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17663258)-sin(-0.17667978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984440981263803-0.984432686393271)×R²
    abs(-0.03643204--0.03647998)×8.29487053155553e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.29487053155553e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.29487053155553e-06×40589641000000     		ar = 90415.5427276367m²