Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6475 / 6229
↖ ↑ ↗
← S 67.958148°
E104.545899°		 ← 1 833.82 m → S 67.958148°
E104.589844°		 →
↑
1 833.19 m
↓
↑
1 833.19 m
↓
S 67.974634°
E104.545899°		 ← 1 832.52 m →
3 360 552 m²		 S 67.974634°
E104.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79046630859375 y=0.76043701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79046630859375 × 213)
    floor (0.79046630859375 × 8192)
    floor (6475.5)     		tx = 6475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76043701171875 × 213)
    floor (0.76043701171875 × 8192)
    floor (6229.5)     		ty = 6229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6475 / 6229 ti = "13/6475/6229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6475/6229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6475 ÷ 213
    6475 ÷ 8192     		x = 0.7904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6229 ÷ 213
    6229 ÷ 8192     		y = 0.7603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7904052734375 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82467015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63599051023328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82467015} λ = 1.82467015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63599051023328))-π/2
    2×atan(0.194759364583753)-π/2
    2×0.192351446540289-π/2
    0.384702893080578-1.57079632675     		φ = -1.18609343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82467015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.545899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18609343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.958148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6475 KachelY 6229 1.82467015 -1.18609343 104.545899 -67.958148
    Oben rechts KachelX + 1 6476 KachelY 6229 1.82543714 -1.18609343 104.589844 -67.958148
    Unten links KachelX 6475 KachelY + 1 6230 1.82467015 -1.18638117 104.545899 -67.974634
    Unten rechts KachelX + 1 6476 KachelY + 1 6230 1.82543714 -1.18638117 104.589844 -67.974634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18609343--1.18638117) × R
    0.000287740000000092 × 6371000     		dl = 1833.19154000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18609343--1.18638117) × R
    0.000287740000000092 × 6371000     		dr = 1833.19154000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82467015-1.82543714) × cos(-1.18609343) × R
    0.000766990000000023 × 0.375283765391359 × 6371000     		do = 1833.82160143086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82467015-1.82543714) × cos(-1.18638117) × R
    0.000766990000000023 × 0.375017040784134 × 6371000     		du = 1832.51825342738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18609343)-sin(-1.18638117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375283765391359-0.375017040784134)×R²
    abs(1.82543714-1.82467015)×0.000266724607224822×R²
    0.000766990000000023×0.000266724607224822×6371000²
    0.000766990000000023×0.000266724607224822×40589641000000     		ar = 3360551.62553075m²