Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64741 / 69345
↖ ↑ ↗
← S 10.404079°
W  2.183533°		 ← 300.40 m → S 10.404079°
W  2.180786°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.406780°
W  2.183533°		 ← 300.40 m →
90 239 m²		 S 10.406780°
W  2.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493938446044922 y=0.529064178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493938446044922 × 217)
    floor (0.493938446044922 × 131072)
    floor (64741.5)     		tx = 64741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529064178466797 × 217)
    floor (0.529064178466797 × 131072)
    floor (69345.5)     		ty = 69345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64741 / 69345 ti = "17/64741/69345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64741/69345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64741 ÷ 217
    64741 ÷ 131072     		x = 0.493934631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69345 ÷ 217
    69345 ÷ 131072     		y = 0.529060363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.0121307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03810984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529060363769531 × 2 - 1) × π
    -0.0581207275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182591650652794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03810984} λ = -0.03810984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182591650652794))-π/2
    2×atan(0.833108285511019)-π/2
    2×0.694605446387729-π/2
    1.38921089277546-1.57079632675     		φ = -0.18158543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03810984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.183533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18158543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.404079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64741 KachelY 69345 -0.03810984 -0.18158543 -2.183533 -10.404079
    Oben rechts KachelX + 1 64742 KachelY 69345 -0.03806190 -0.18158543 -2.180786 -10.404079
    Unten links KachelX 64741 KachelY + 1 69346 -0.03810984 -0.18163258 -2.183533 -10.406780
    Unten rechts KachelX + 1 64742 KachelY + 1 69346 -0.03806190 -0.18163258 -2.180786 -10.406780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18158543--0.18163258) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18158543--0.18163258) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03810984--0.03806190) × cos(-0.18158543) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983558617561703 × 6371000     		do = 300.404118602137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03810984--0.03806190) × cos(-0.18163258) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983550101689381 × 6371000     		du = 300.401517635531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18158543)-sin(-0.18163258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983558617561703-0.983550101689381)×R²
    abs(-0.03806190--0.03810984)×8.51587232142403e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.51587232142403e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.51587232142403e-06×40589641000000     		ar = 90238.7986188679m²