Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64741 / 69093
↖ ↑ ↗
← S  9.722593°
W  2.183533°		 ← 301.04 m → S  9.722593°
W  2.180786°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.725300°
W  2.183533°		 ← 301.04 m →
90 621 m²		 S  9.725300°
W  2.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493938446044922 y=0.527141571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493938446044922 × 217)
    floor (0.493938446044922 × 131072)
    floor (64741.5)     		tx = 64741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527141571044922 × 217)
    floor (0.527141571044922 × 131072)
    floor (69093.5)     		ty = 69093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64741 / 69093 ti = "17/64741/69093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64741/69093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64741 ÷ 217
    64741 ÷ 131072     		x = 0.493934631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69093 ÷ 217
    69093 ÷ 131072     		y = 0.527137756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.0121307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03810984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527137756347656 × 2 - 1) × π
    -0.0542755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.17051155194854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03810984} λ = -0.03810984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17051155194854))-π/2
    2×atan(0.8432333485841)-π/2
    2×0.700552533505353-π/2
    1.40110506701071-1.57079632675     		φ = -0.16969126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03810984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.183533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16969126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.722593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64741 KachelY 69093 -0.03810984 -0.16969126 -2.183533 -9.722593
    Oben rechts KachelX + 1 64742 KachelY 69093 -0.03806190 -0.16969126 -2.180786 -9.722593
    Unten links KachelX 64741 KachelY + 1 69094 -0.03810984 -0.16973851 -2.183533 -9.725300
    Unten rechts KachelX + 1 64742 KachelY + 1 69094 -0.03806190 -0.16973851 -2.180786 -9.725300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16969126--0.16973851) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16969126--0.16973851) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03810984--0.03806190) × cos(-0.16969126) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985636953294021 × 6371000     		do = 301.038895831149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03810984--0.03806190) × cos(-0.16973851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98562897270584 × 6371000     		du = 301.036458354098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16969126)-sin(-0.16973851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985636953294021-0.98562897270584)×R²
    abs(-0.03806190--0.03810984)×7.98058818163305e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.98058818163305e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.98058818163305e-06×40589641000000     		ar = 90621.2966925896m²