Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64740 / 69341
↖ ↑ ↗
← S 10.393273°
W  2.186279°		 ← 300.35 m → S 10.393273°
W  2.183533°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.395975°
W  2.186279°		 ← 300.35 m →
90 223 m²		 S 10.395975°
W  2.183533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493930816650391 y=0.529033660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493930816650391 × 217)
    floor (0.493930816650391 × 131072)
    floor (64740.5)     		tx = 64740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529033660888672 × 217)
    floor (0.529033660888672 × 131072)
    floor (69341.5)     		ty = 69341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64740 / 69341 ti = "17/64740/69341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64740/69341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64740 ÷ 217
    64740 ÷ 131072     		x = 0.493927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69341 ÷ 217
    69341 ÷ 131072     		y = 0.529029846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.01214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03815777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529029846191406 × 2 - 1) × π
    -0.0580596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.182399903054314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03815777} λ = -0.03815777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182399903054314))-π/2
    2×atan(0.833268047340524)-π/2
    2×0.694699745521205-π/2
    1.38939949104241-1.57079632675     		φ = -0.18139684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03815777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.186279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18139684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.393273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64740 KachelY 69341 -0.03815777 -0.18139684 -2.186279 -10.393273
    Oben rechts KachelX + 1 64741 KachelY 69341 -0.03810984 -0.18139684 -2.183533 -10.393273
    Unten links KachelX 64740 KachelY + 1 69342 -0.03815777 -0.18144399 -2.186279 -10.395975
    Unten rechts KachelX + 1 64741 KachelY + 1 69342 -0.03810984 -0.18144399 -2.183533 -10.395975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18139684--0.18144399) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18139684--0.18144399) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03815777--0.03810984) × cos(-0.18139684) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98359265738105 × 6371000     		do = 300.351850550982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03815777--0.03810984) × cos(-0.18144399) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983584150254663 × 6371000     		du = 300.349252797599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18139684)-sin(-0.18144399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98359265738105-0.983584150254663)×R²
    abs(-0.03810984--0.03815777)×8.50712638655882e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.50712638655882e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.50712638655882e-06×40589641000000     		ar = 90223.0981631067m²