Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64739 / 69092
↖ ↑ ↗
← S  9.719886°
W  2.189026°		 ← 301.04 m → S  9.719886°
W  2.186279°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.722593°
W  2.189026°		 ← 301.04 m →
90 622 m²		 S  9.722593°
W  2.186279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493923187255859 y=0.527133941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493923187255859 × 217)
    floor (0.493923187255859 × 131072)
    floor (64739.5)     		tx = 64739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527133941650391 × 217)
    floor (0.527133941650391 × 131072)
    floor (69092.5)     		ty = 69092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64739 / 69092 ti = "17/64739/69092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64739/69092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64739 ÷ 217
    64739 ÷ 131072     		x = 0.493919372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69092 ÷ 217
    69092 ÷ 131072     		y = 0.527130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493919372558594 × 2 - 1) × π
    -0.0121612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03820571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.05426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17046361504892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03820571} λ = -0.03820571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17046361504892))-π/2
    2×atan(0.843273771545355)-π/2
    2×0.700576157790816-π/2
    1.40115231558163-1.57079632675     		φ = -0.16964401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03820571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.189026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16964401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.719886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64739 KachelY 69092 -0.03820571 -0.16964401 -2.189026 -9.719886
    Oben rechts KachelX + 1 64740 KachelY 69092 -0.03815777 -0.16964401 -2.186279 -9.719886
    Unten links KachelX 64739 KachelY + 1 69093 -0.03820571 -0.16969126 -2.189026 -9.722593
    Unten rechts KachelX + 1 64740 KachelY + 1 69093 -0.03815777 -0.16969126 -2.186279 -9.722593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16964401--0.16969126) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16964401--0.16969126) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03820571--0.03815777) × cos(-0.16964401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985644931681707 × 6371000     		do = 301.041332636112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03820571--0.03815777) × cos(-0.16969126) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985636953294021 × 6371000     		du = 301.038895831149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16964401)-sin(-0.16969126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985644931681707-0.985636953294021)×R²
    abs(-0.03815777--0.03820571)×7.9783876855144e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.9783876855144e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.9783876855144e-06×40589641000000     		ar = 90622.0303445734m²