Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64738 / 69091
↖ ↑ ↗
← S  9.717179°
W  2.191773°		 ← 301.04 m → S  9.717179°
W  2.189026°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.719886°
W  2.191773°		 ← 301.04 m →
90 623 m²		 S  9.719886°
W  2.189026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493915557861328 y=0.527126312255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493915557861328 × 217)
    floor (0.493915557861328 × 131072)
    floor (64738.5)     		tx = 64738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527126312255859 × 217)
    floor (0.527126312255859 × 131072)
    floor (69091.5)     		ty = 69091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64738 / 69091 ti = "17/64738/69091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64738/69091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64738 ÷ 217
    64738 ÷ 131072     		x = 0.493911743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69091 ÷ 217
    69091 ÷ 131072     		y = 0.527122497558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493911743164062 × 2 - 1) × π
    -0.012176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03825365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527122497558594 × 2 - 1) × π
    -0.0542449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.1704156781493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03825365} λ = -0.03825365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1704156781493))-π/2
    2×atan(0.843314196444408)-π/2
    2×0.700599782267478-π/2
    1.40119956453496-1.57079632675     		φ = -0.16959676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03825365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.191773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16959676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.717179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64738 KachelY 69091 -0.03825365 -0.16959676 -2.191773 -9.717179
    Oben rechts KachelX + 1 64739 KachelY 69091 -0.03820571 -0.16959676 -2.189026 -9.717179
    Unten links KachelX 64738 KachelY + 1 69092 -0.03825365 -0.16964401 -2.191773 -9.719886
    Unten rechts KachelX + 1 64739 KachelY + 1 69092 -0.03820571 -0.16964401 -2.189026 -9.719886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16959676--0.16964401) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16959676--0.16964401) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03825365--0.03820571) × cos(-0.16959676) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985652907868878 × 6371000     		do = 301.043768769024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03825365--0.03820571) × cos(-0.16964401) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985644931681707 × 6371000     		du = 301.041332636155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16959676)-sin(-0.16964401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985652907868878-0.985644931681707)×R²
    abs(-0.03820571--0.03825365)×7.97618717163218e-06×R²
    4.79400000000033e-05×7.97618717163218e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×7.97618717163218e-06×40589641000000     		ar = 90622.7637942538m²