Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64737 / 69343
↖ ↑ ↗
← S 10.398676°
W  2.194519°		 ← 300.35 m → S 10.398676°
W  2.191773°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.401378°
W  2.194519°		 ← 300.34 m →
90 222 m²		 S 10.401378°
W  2.191773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493907928466797 y=0.529048919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493907928466797 × 217)
    floor (0.493907928466797 × 131072)
    floor (64737.5)     		tx = 64737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529048919677734 × 217)
    floor (0.529048919677734 × 131072)
    floor (69343.5)     		ty = 69343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64737 / 69343 ti = "17/64737/69343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64737/69343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64737 ÷ 217
    64737 ÷ 131072     		x = 0.493904113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69343 ÷ 217
    69343 ÷ 131072     		y = 0.529045104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493904113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03830158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529045104980469 × 2 - 1) × π
    -0.0580902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.182495776853554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03830158} λ = -0.03830158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182495776853554))-π/2
    2×atan(0.833188162596528)-π/2
    2×0.694652595546508-π/2
    1.38930519109302-1.57079632675     		φ = -0.18149114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03830158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.194519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18149114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.398676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64737 KachelY 69343 -0.03830158 -0.18149114 -2.194519 -10.398676
    Oben rechts KachelX + 1 64738 KachelY 69343 -0.03825365 -0.18149114 -2.191773 -10.398676
    Unten links KachelX 64737 KachelY + 1 69344 -0.03830158 -0.18153829 -2.194519 -10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 64738 KachelY + 1 69344 -0.03825365 -0.18153829 -2.191773 -10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18149114--0.18153829) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18149114--0.18153829) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03830158--0.03825365) × cos(-0.18149114) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983575640941649 × 6371000     		do = 300.346654376503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03830158--0.03825365) × cos(-0.18153829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 300.344055287699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18149114)-sin(-0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983575640941649-0.983567129442025)×R²
    abs(-0.03825365--0.03830158)×8.51149962377562e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.51149962377562e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.51149962377562e-06×40589641000000     		ar = 90221.5370699286m²