Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64736 / 69088
↖ ↑ ↗
← S  9.709057°
W  2.197266°		 ← 301.05 m → S  9.709057°
W  2.194519°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.711764°
W  2.197266°		 ← 301.05 m →
90 625 m²		 S  9.711764°
W  2.194519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493900299072266 y=0.527103424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493900299072266 × 217)
    floor (0.493900299072266 × 131072)
    floor (64736.5)     		tx = 64736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527103424072266 × 217)
    floor (0.527103424072266 × 131072)
    floor (69088.5)     		ty = 69088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64736 / 69088 ti = "17/64736/69088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64736/69088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64736 ÷ 217
    64736 ÷ 131072     		x = 0.493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69088 ÷ 217
    69088 ÷ 131072     		y = 0.527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.170271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03834952} λ = -0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170271867450439))-π/2
    2×atan(0.843435482769284)-π/2
    2×0.700670656844138-π/2
    1.40134131368828-1.57079632675     		φ = -0.16945501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16945501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.709057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64736 KachelY 69088 -0.03834952 -0.16945501 -2.197266 -9.709057
    Oben rechts KachelX + 1 64737 KachelY 69088 -0.03830158 -0.16945501 -2.194519 -9.709057
    Unten links KachelX 64736 KachelY + 1 69089 -0.03834952 -0.16950226 -2.197266 -9.711764
    Unten rechts KachelX + 1 64737 KachelY + 1 69089 -0.03830158 -0.16950226 -2.194519 -9.711764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16945501--0.16950226) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16945501--0.16950226) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03834952--0.03830158) × cos(-0.16945501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985676823227132 × 6371000     		do = 301.051073134973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03834952--0.03830158) × cos(-0.16950226) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985668853641609 × 6371000     		du = 301.048639018417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16945501)-sin(-0.16950226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985676823227132-0.985668853641609)×R²
    abs(-0.03830158--0.03834952)×7.96958552307103e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.96958552307103e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.96958552307103e-06×40589641000000     		ar = 90624.9629291817m²