Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64735 / 69344
↖ ↑ ↗
← S 10.401378°
W  2.200012°		 ← 300.41 m → S 10.401378°
W  2.197266°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.404079°
W  2.200012°		 ← 300.40 m →
90 220 m²		 S 10.404079°
W  2.197266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493892669677734 y=0.529056549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493892669677734 × 217)
    floor (0.493892669677734 × 131072)
    floor (64735.5)     		tx = 64735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529056549072266 × 217)
    floor (0.529056549072266 × 131072)
    floor (69344.5)     		ty = 69344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64735 / 69344 ti = "17/64735/69344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64735/69344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64735 ÷ 217
    64735 ÷ 131072     		x = 0.493888854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69344 ÷ 217
    69344 ÷ 131072     		y = 0.529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493888854980469 × 2 - 1) × π
    -0.0122222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03839746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03839746} λ = -0.03839746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182543713753174))-π/2
    2×atan(0.833148223096509)-π/2
    2×0.694629020865104-π/2
    1.38925804173021-1.57079632675     		φ = -0.18153829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03839746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.200012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18153829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.401378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64735 KachelY 69344 -0.03839746 -0.18153829 -2.200012 -10.401378
    Oben rechts KachelX + 1 64736 KachelY 69344 -0.03834952 -0.18153829 -2.197266 -10.401378
    Unten links KachelX 64735 KachelY + 1 69345 -0.03839746 -0.18158543 -2.200012 -10.404079
    Unten rechts KachelX + 1 64736 KachelY + 1 69345 -0.03834952 -0.18158543 -2.197266 -10.404079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18153829--0.18158543) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18153829--0.18158543) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03839746--0.03834952) × cos(-0.18153829) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.983567129442025 × 6371000     		do = 300.406718349527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03839746--0.03834952) × cos(-0.18158543) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.983558617561703 × 6371000     		du = 300.40411860218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18153829)-sin(-0.18158543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983567129442025-0.983558617561703)×R²
    abs(-0.03834952--0.03839746)×8.51188032224837e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.51188032224837e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.51188032224837e-06×40589641000000     		ar = 90220.4409178259m²