Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64732 / 69126
↖ ↑ ↗
← S  9.811917°
W  2.208252°		 ← 300.96 m → S  9.811917°
W  2.205505°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.814623°
W  2.208252°		 ← 300.96 m →
90 559 m²		 S  9.814623°
W  2.205505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493869781494141 y=0.527393341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493869781494141 × 217)
    floor (0.493869781494141 × 131072)
    floor (64732.5)     		tx = 64732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527393341064453 × 217)
    floor (0.527393341064453 × 131072)
    floor (69126.5)     		ty = 69126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64732 / 69126 ti = "17/64732/69126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64732/69126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64732 ÷ 217
    64732 ÷ 131072     		x = 0.493865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69126 ÷ 217
    69126 ÷ 131072     		y = 0.527389526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.01226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03854127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527389526367188 × 2 - 1) × π
    -0.054779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.172093469636002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03854127} λ = -0.03854127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172093469636002))-π/2
    2×atan(0.841900477359555)-π/2
    2×0.699773039682207-π/2
    1.39954607936441-1.57079632675     		φ = -0.17125025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03854127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.208252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17125025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.811917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64732 KachelY 69126 -0.03854127 -0.17125025 -2.208252 -9.811917
    Oben rechts KachelX + 1 64733 KachelY 69126 -0.03849333 -0.17125025 -2.205505 -9.811917
    Unten links KachelX 64732 KachelY + 1 69127 -0.03854127 -0.17129748 -2.208252 -9.814623
    Unten rechts KachelX + 1 64733 KachelY + 1 69127 -0.03849333 -0.17129748 -2.205505 -9.814623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17125025--0.17129748) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17125025--0.17129748) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03854127--0.03849333) × cos(-0.17125025) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.98537247643672 × 6371000     		do = 300.958117791338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03854127--0.03849333) × cos(-0.17129748) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985364426663517 × 6371000     		du = 300.955659183401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17125025)-sin(-0.17129748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98537247643672-0.985364426663517)×R²
    abs(-0.03849333--0.03854127)×8.04977320312261e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.04977320312261e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.04977320312261e-06×40589641000000     		ar = 90558.6289922512m²