Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64731 / 69125
↖ ↑ ↗
← S  9.809210°
W  2.210998°		 ← 300.90 m → S  9.809210°
W  2.208252°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.811917°
W  2.210998°		 ← 300.90 m →
90 560 m²		 S  9.811917°
W  2.208252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493862152099609 y=0.527385711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493862152099609 × 217)
    floor (0.493862152099609 × 131072)
    floor (64731.5)     		tx = 64731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527385711669922 × 217)
    floor (0.527385711669922 × 131072)
    floor (69125.5)     		ty = 69125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64731 / 69125 ti = "17/64731/69125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64731/69125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64731 ÷ 217
    64731 ÷ 131072     		x = 0.493858337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69125 ÷ 217
    69125 ÷ 131072     		y = 0.527381896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493858337402344 × 2 - 1) × π
    -0.0122833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03858920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527381896972656 × 2 - 1) × π
    -0.0547637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172045532736382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03858920} λ = -0.03858920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172045532736382))-π/2
    2×atan(0.841940836425564)-π/2
    2×0.699796657629423-π/2
    1.39959331525885-1.57079632675     		φ = -0.17120301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03858920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.210998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17120301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.809210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64731 KachelY 69125 -0.03858920 -0.17120301 -2.210998 -9.809210
    Oben rechts KachelX + 1 64732 KachelY 69125 -0.03854127 -0.17120301 -2.208252 -9.809210
    Unten links KachelX 64731 KachelY + 1 69126 -0.03858920 -0.17125025 -2.210998 -9.811917
    Unten rechts KachelX + 1 64732 KachelY + 1 69126 -0.03854127 -0.17125025 -2.208252 -9.811917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17120301--0.17125025) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17120301--0.17125025) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03858920--0.03854127) × cos(-0.17120301) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985380525715559 × 6371000     		do = 300.897797654937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03858920--0.03854127) × cos(-0.17125025) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.98537247643672 × 6371000     		du = 300.89533971081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17120301)-sin(-0.17125025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985380525715559-0.98537247643672)×R²
    abs(-0.03854127--0.03858920)×8.04927883835127e-06×R²
    4.79299999999946e-05×8.04927883835127e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×8.04927883835127e-06×40589641000000     		ar = 90559.6487429436m²