Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64728 / 69096
↖ ↑ ↗
← S  9.730714°
W  2.219238°		 ← 300.97 m → S  9.730714°
W  2.216492°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.733421°
W  2.219238°		 ← 300.97 m →
90 600 m²		 S  9.733421°
W  2.216492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493839263916016 y=0.527164459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493839263916016 × 217)
    floor (0.493839263916016 × 131072)
    floor (64728.5)     		tx = 64728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527164459228516 × 217)
    floor (0.527164459228516 × 131072)
    floor (69096.5)     		ty = 69096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64728 / 69096 ti = "17/64728/69096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64728/69096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64728 ÷ 217
    64728 ÷ 131072     		x = 0.49383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69096 ÷ 217
    69096 ÷ 131072     		y = 0.52716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03873301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.0543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.1706553626474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03873301} λ = -0.03873301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1706553626474))-π/2
    2×atan(0.843112091326192)-π/2
    2×0.700481661796666-π/2
    1.40096332359333-1.57079632675     		φ = -0.16983300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03873301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.219238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16983300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.730714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64728 KachelY 69096 -0.03873301 -0.16983300 -2.219238 -9.730714
    Oben rechts KachelX + 1 64729 KachelY 69096 -0.03868508 -0.16983300 -2.216492 -9.730714
    Unten links KachelX 64728 KachelY + 1 69097 -0.03873301 -0.16988025 -2.219238 -9.733421
    Unten rechts KachelX + 1 64729 KachelY + 1 69097 -0.03868508 -0.16988025 -2.216492 -9.733421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16983300--0.16988025) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16983300--0.16988025) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03873301--0.03868508) × cos(-0.16983300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985613006618237 × 6371000     		do = 300.968788495358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03873301--0.03868508) × cos(-0.16988025) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985605019429139 × 6371000     		du = 300.966349511081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16983300)-sin(-0.16988025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985613006618237-0.985605019429139)×R²
    abs(-0.03868508--0.03873301)×7.98718909733598e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.98718909733598e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.98718909733598e-06×40589641000000     		ar = 90600.1920719785m²