Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64725 / 69339
↖ ↑ ↗
← S 10.387870°
W  2.227478°		 ← 300.42 m → S 10.387870°
W  2.224732°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.390572°
W  2.227478°		 ← 300.42 m →
90 263 m²		 S 10.390572°
W  2.224732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493816375732422 y=0.529018402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493816375732422 × 217)
    floor (0.493816375732422 × 131072)
    floor (64725.5)     		tx = 64725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529018402099609 × 217)
    floor (0.529018402099609 × 131072)
    floor (69339.5)     		ty = 69339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64725 / 69339 ti = "17/64725/69339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64725/69339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64725 ÷ 217
    64725 ÷ 131072     		x = 0.493812561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69339 ÷ 217
    69339 ÷ 131072     		y = 0.529014587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493812561035156 × 2 - 1) × π
    -0.0123748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03887683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529014587402344 × 2 - 1) × π
    -0.0580291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182304029255074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03887683} λ = -0.03887683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182304029255074))-π/2
    2×atan(0.833347939743741)-π/2
    2×0.694746896311415-π/2
    1.38949379262283-1.57079632675     		φ = -0.18130253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03887683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.227478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18130253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.387870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64725 KachelY 69339 -0.03887683 -0.18130253 -2.227478 -10.387870
    Oben rechts KachelX + 1 64726 KachelY 69339 -0.03882889 -0.18130253 -2.224732 -10.387870
    Unten links KachelX 64725 KachelY + 1 69340 -0.03887683 -0.18134969 -2.227478 -10.390572
    Unten rechts KachelX + 1 64726 KachelY + 1 69340 -0.03882889 -0.18134969 -2.224732 -10.390572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18130253--0.18134969) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18130253--0.18134969) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03887683--0.03882889) × cos(-0.18130253) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.983609666876972 × 6371000     		do = 300.419710377073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03887683--0.03882889) × cos(-0.18134969) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.983601162320789 × 6371000     		du = 300.417112866708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18130253)-sin(-0.18134969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983609666876972-0.983601162320789)×R²
    abs(-0.03882889--0.03887683)×8.50455618284229e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.50455618284229e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.50455618284229e-06×40589641000000     		ar = 90262.6224496089m²