Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64713 / 69129
↖ ↑ ↗
← S  9.820035°
W  2.260437°		 ← 300.95 m → S  9.820035°
W  2.257690°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.822742°
W  2.260437°		 ← 300.95 m →
90 576 m²		 S  9.822742°
W  2.257690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493724822998047 y=0.527416229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493724822998047 × 217)
    floor (0.493724822998047 × 131072)
    floor (64713.5)     		tx = 64713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527416229248047 × 217)
    floor (0.527416229248047 × 131072)
    floor (69129.5)     		ty = 69129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64713 / 69129 ti = "17/64713/69129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64713/69129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64713 ÷ 217
    64713 ÷ 131072     		x = 0.493721008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69129 ÷ 217
    69129 ÷ 131072     		y = 0.527412414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493721008300781 × 2 - 1) × π
    -0.0125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03945207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527412414550781 × 2 - 1) × π
    -0.0548248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.172237280334862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03945207} λ = -0.03945207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172237280334862))-π/2
    2×atan(0.841779411769007)-π/2
    2×0.699702186998387-π/2
    1.39940437399677-1.57079632675     		φ = -0.17139195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03945207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.260437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17139195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.820035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64713 KachelY 69129 -0.03945207 -0.17139195 -2.260437 -9.820035
    Oben rechts KachelX + 1 64714 KachelY 69129 -0.03940413 -0.17139195 -2.257690 -9.820035
    Unten links KachelX 64713 KachelY + 1 69130 -0.03945207 -0.17143919 -2.260437 -9.822742
    Unten rechts KachelX + 1 64714 KachelY + 1 69130 -0.03940413 -0.17143919 -2.257690 -9.822742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17139195--0.17143919) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17139195--0.17143919) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03945207--0.03940413) × cos(-0.17139195) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985348318817511 × 6371000     		do = 300.950739432571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03945207--0.03940413) × cos(-0.17143919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985340260743814 × 6371000     		du = 300.948278289449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17139195)-sin(-0.17143919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985348318817511-0.985340260743814)×R²
    abs(-0.03940413--0.03945207)×8.0580736978586e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.0580736978586e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.0580736978586e-06×40589641000000     		ar = 90575.5819387101m²