Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64712 / 69080
↖ ↑ ↗
← S  9.687399°
W  2.263184°		 ← 301.07 m → S  9.687399°
W  2.260437°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.690106°
W  2.263184°		 ← 301.07 m →
90 631 m²		 S  9.690106°
W  2.260437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493717193603516 y=0.527042388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493717193603516 × 217)
    floor (0.493717193603516 × 131072)
    floor (64712.5)     		tx = 64712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527042388916016 × 217)
    floor (0.527042388916016 × 131072)
    floor (69080.5)     		ty = 69080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64712 / 69080 ti = "17/64712/69080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64712/69080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64712 ÷ 217
    64712 ÷ 131072     		x = 0.49371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69080 ÷ 217
    69080 ÷ 131072     		y = 0.52703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03950001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03950001} λ = -0.03950001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169888372253479))-π/2
    2×atan(0.843758998255225)-π/2
    2×0.700859664115189-π/2
    1.40171932823038-1.57079632675     		φ = -0.16907700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03950001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.263184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16907700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.687399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64712 KachelY 69080 -0.03950001 -0.16907700 -2.263184 -9.687399
    Oben rechts KachelX + 1 64713 KachelY 69080 -0.03945207 -0.16907700 -2.260437 -9.687399
    Unten links KachelX 64712 KachelY + 1 69081 -0.03950001 -0.16912425 -2.263184 -9.690106
    Unten rechts KachelX + 1 64713 KachelY + 1 69081 -0.03945207 -0.16912425 -2.260437 -9.690106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16907700--0.16912425) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16907700--0.16912425) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03950001--0.03945207) × cos(-0.16907700) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985740502371485 × 6371000     		do = 301.070522384803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03950001--0.03945207) × cos(-0.16912425) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985732550391606 × 6371000     		du = 301.068093645464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16907700)-sin(-0.16912425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985740502371485-0.985732550391606)×R²
    abs(-0.03945207--0.03950001)×7.95197987868423e-06×R²
    4.79400000000033e-05×7.95197987868423e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×7.95197987868423e-06×40589641000000     		ar = 90630.8185413613m²