Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64711 / 69079
↖ ↑ ↗
← S  9.684691°
W  2.265930°		 ← 301.01 m → S  9.684691°
W  2.263184°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.687399°
W  2.265930°		 ← 301.01 m →
90 632 m²		 S  9.687399°
W  2.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493709564208984 y=0.527034759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493709564208984 × 217)
    floor (0.493709564208984 × 131072)
    floor (64711.5)     		tx = 64711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527034759521484 × 217)
    floor (0.527034759521484 × 131072)
    floor (69079.5)     		ty = 69079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64711 / 69079 ti = "17/64711/69079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64711/69079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64711 ÷ 217
    64711 ÷ 131072     		x = 0.493705749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69079 ÷ 217
    69079 ÷ 131072     		y = 0.527030944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493705749511719 × 2 - 1) × π
    -0.0125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03954794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527030944824219 × 2 - 1) × π
    -0.0540618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169840435353859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03954794} λ = -0.03954794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169840435353859))-π/2
    2×atan(0.8437994464151)-π/2
    2×0.700883290882235-π/2
    1.40176658176447-1.57079632675     		φ = -0.16902974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03954794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.265930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16902974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.684691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64711 KachelY 69079 -0.03954794 -0.16902974 -2.265930 -9.684691
    Oben rechts KachelX + 1 64712 KachelY 69079 -0.03950001 -0.16902974 -2.263184 -9.684691
    Unten links KachelX 64711 KachelY + 1 69080 -0.03954794 -0.16907700 -2.265930 -9.687399
    Unten rechts KachelX + 1 64712 KachelY + 1 69080 -0.03950001 -0.16907700 -2.263184 -9.687399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16902974--0.16907700) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16902974--0.16907700) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03954794--0.03950001) × cos(-0.16902974) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985748453832896 × 6371000     		do = 301.010148931741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03954794--0.03950001) × cos(-0.16907700) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985740502371485 × 6371000     		du = 301.007720857343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16902974)-sin(-0.16907700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985748453832896-0.985740502371485)×R²
    abs(-0.03950001--0.03954794)×7.95146141141512e-06×R²
    4.79299999999946e-05×7.95146141141512e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×7.95146141141512e-06×40589641000000     		ar = 90631.8217151723m²