Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64706 / 32058
↖ ↑ ↗
← N 67.278409°
W  2.279663°		 ← 117.97 m → N 67.278409°
W  2.276917°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
N 67.277348°
W  2.279663°		 ← 117.98 m →
13 920 m²		 N 67.277348°
W  2.276917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493671417236328 y=0.244586944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493671417236328 × 217)
    floor (0.493671417236328 × 131072)
    floor (64706.5)     		tx = 64706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244586944580078 × 217)
    floor (0.244586944580078 × 131072)
    floor (32058.5)     		ty = 32058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64706 / 32058 ti = "17/64706/32058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64706/32058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64706 ÷ 217
    64706 ÷ 131072     		x = 0.493667602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32058 ÷ 217
    32058 ÷ 131072     		y = 0.244583129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493667602539062 × 2 - 1) × π
    -0.012664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03978763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244583129882812 × 2 - 1) × π
    0.510833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60483152548024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03978763} λ = -0.03978763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60483152548024))-π/2
    2×atan(4.97702103087466)-π/2
    2×1.37251303776826-π/2
    2.74502607553651-1.57079632675     		φ = 1.17422975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03978763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.279663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17422975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.278409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64706 KachelY 32058 -0.03978763 1.17422975 -2.279663 67.278409
    Oben rechts KachelX + 1 64707 KachelY 32058 -0.03973969 1.17422975 -2.276917 67.278409
    Unten links KachelX 64706 KachelY + 1 32059 -0.03978763 1.17421123 -2.279663 67.277348
    Unten rechts KachelX + 1 64707 KachelY + 1 32059 -0.03973969 1.17421123 -2.276917 67.277348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17422975-1.17421123) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17422975-1.17421123) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03978763--0.03973969) × cos(1.17422975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.38625366102543 × 6371000     		do = 117.971810246392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03978763--0.03973969) × cos(1.17421123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.386270743670148 × 6371000     		du = 117.977027725796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17422975)-sin(1.17421123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38625366102543-0.386270743670148)×R²
    abs(-0.03973969--0.03978763)×1.70826447185024e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.70826447185024e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.70826447185024e-05×40589641000000     		ar = 13919.9102330295m²