Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64702 / 95038
↖ ↑ ↗
← S 62.671621°
W  2.290649°		 ← 140.19 m → S 62.671621°
W  2.287903°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.672882°
W  2.290649°		 ← 140.18 m →
19 658 m²		 S 62.672882°
W  2.287903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493640899658203 y=0.725086212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493640899658203 × 217)
    floor (0.493640899658203 × 131072)
    floor (64702.5)     		tx = 64702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725086212158203 × 217)
    floor (0.725086212158203 × 131072)
    floor (95038.5)     		ty = 95038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64702 / 95038 ti = "17/64702/95038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64702/95038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64702 ÷ 217
    64702 ÷ 131072     		x = 0.493637084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95038 ÷ 217
    95038 ÷ 131072     		y = 0.725082397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493637084960938 × 2 - 1) × π
    -0.012725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03997937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725082397460938 × 2 - 1) × π
    -0.450164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4142344125909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03997937} λ = -0.03997937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4142344125909))-π/2
    2×atan(0.243111665450195)-π/2
    2×0.238485091169578-π/2
    0.476970182339157-1.57079632675     		φ = -1.09382614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03997937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.290649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09382614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.671621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64702 KachelY 95038 -0.03997937 -1.09382614 -2.290649 -62.671621
    Oben rechts KachelX + 1 64703 KachelY 95038 -0.03993144 -1.09382614 -2.287903 -62.671621
    Unten links KachelX 64702 KachelY + 1 95039 -0.03997937 -1.09384815 -2.290649 -62.672882
    Unten rechts KachelX + 1 64703 KachelY + 1 95039 -0.03993144 -1.09384815 -2.287903 -62.672882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09382614--1.09384815) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dl = 140.225709999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09382614--1.09384815) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dr = 140.225709999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03997937--0.03993144) × cos(-1.09382614) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.459089631212006 × 6371000     		do = 140.188541738854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03997937--0.03993144) × cos(-1.09384815) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.459070077637917 × 6371000     		du = 140.182570819777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09382614)-sin(-1.09384815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459089631212006-0.459070077637917)×R²
    abs(-0.03993144--0.03997937)×1.95535740883934e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95535740883934e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95535740883934e-05×40589641000000     		ar = 19657.6191615789m²