Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 647 / 381
↖ ↑ ↗
← N 81.133945°
W123.134765°		 ← 1 506.26 m → N 81.133945°
W123.046875°		 →
↑
1 507.38 m
↓
↑
1 507.38 m
↓
N 81.120389°
W123.134765°		 ← 1 508.55 m →
2 272 229 m²		 N 81.120389°
W123.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1580810546875 y=0.0931396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1580810546875 × 212)
    floor (0.1580810546875 × 4096)
    floor (647.5)     		tx = 647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0931396484375 × 212)
    floor (0.0931396484375 × 4096)
    floor (381.5)     		ty = 381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 647 / 381 ti = "12/647/381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/647/381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 647 ÷ 212
    647 ÷ 4096     		x = 0.157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 381 ÷ 212
    381 ÷ 4096     		y = 0.093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.68408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14910708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093017578125 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55714597333228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14910708} λ = -2.14910708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55714597333228))-π/2
    2×atan(12.8989507820152)-π/2
    2×1.49342539950467-π/2
    2.98685079900934-1.57079632675     		φ = 1.41605447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14910708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.134765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41605447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.133945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 647 KachelY 381 -2.14910708 1.41605447 -123.134765 81.133945
    Oben rechts KachelX + 1 648 KachelY 381 -2.14757310 1.41605447 -123.046875 81.133945
    Unten links KachelX 647 KachelY + 1 382 -2.14910708 1.41581787 -123.134765 81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 648 KachelY + 1 382 -2.14757310 1.41581787 -123.046875 81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41605447-1.41581787) × R
    0.000236600000000031 × 6371000     		dl = 1507.3786000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41605447-1.41581787) × R
    0.000236600000000031 × 6371000     		dr = 1507.3786000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14910708--2.14757310) × cos(1.41605447) × R
    0.00153398000000005 × 0.154125045686959 × 6371000     		do = 1506.26200314058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14910708--2.14757310) × cos(1.41581787) × R
    0.00153398000000005 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 1508.54662085674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41605447)-sin(1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154125045686959-0.154358814320269)×R²
    abs(-2.14757310--2.14910708)×0.000233768633309456×R²
    0.00153398000000005×0.000233768633309456×6371000²
    0.00153398000000005×0.000233768633309456×40589641000000     		ar = 2272229.01205797m²